绝对值三角不等式.ppt

绝对值三角不等式绝对值三角不等式 1.绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：    如：如：|-3||-3|或或|3||3|表示数表示数-3-3，，3 3所对应的所对应的点点A A或点或点B B到坐标原点的距离到坐标原点的距离. .探究新知探究新知即实数即实数x x对应的点到坐标原点的距离对应的点到坐标原点的距离小于小于3.3.探究新知探究新知 绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：          同理，与原点距离大于同理，与原点距离大于3 3的点对应的的点对应的实数可表示为：实数可表示为： 探究新知探究新知 设设a,ba,b是任意两个实数，那么是任意两个实数，那么|a-b||a-b| 的几何意义是什么？的几何意义是什么？x|a-b|abAB探究新知探究新知 如果用恰当的方法在数轴上把如果用恰当的方法在数轴上把|a| |a| ，，|b| |b| ，，|a+b||a+b|表示出来表示出来? ?定理定理1 1 如果如果a,ba,b是实数，则是实数，则|a+b| |a+b| ≤|a| +|b| ≤|a| +|b| ，，当且仅当当且仅当 ab≥0ab≥0时，等号成立时，等号成立. .探究新知探究新知 如果把定理如果把定理1 1中的实数中的实数a,ba,b分别换分别换为向量为向量 ，能得出，能得出(1) 当当 不共线时有不共线时有(2) 当当 共线且同向时有共线且同向时有探究新知探究新知探究新知探究新知|a|-|b| ≤|a|a|-|b| ≤|a±±b|≤|a|+|b|b|≤|a|+|b| 这个不等式俗称这个不等式俗称“三角不等式三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边之差小于第三边绝对值三绝对值三角不等式角不等式求证：求证：|a|-|b| ≤|a|a|-|b| ≤|a±±b|≤|a|+|b|b|≤|a|+|b| 定理的证明定理的证明探究新知探究新知定理定理2 2：如果：如果a,b,ca,b,c是实数，那么是实数，那么探究新知探究新知典例讲评典例讲评例例2 2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工两个地点施工, ,这两个地点分别位于公路路这两个地点分别位于公路路碑的第碑的第1010公里和第公里和第2020公里处公里处. .现要在公路沿现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区线建两个施工队的共同临时生活区, ,每个施每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一工队每天在生活区和施工地点之间往返一次次, ,要使两个施工队每天往返的路程之和最要使两个施工队每天往返的路程之和最小小, ,生活区应该建于何处生活区应该建于何处? ?典例讲评典例讲评解：如果生活区建于公路路碑的第解：如果生活区建于公路路碑的第 x x kmkm处，两施工队每天往返的路程之和为处，两施工队每天往返的路程之和为S(S(x x)km)km那么那么 S(S(x x)=2(|)=2(|x x-10|+|-10|+|x x-20|)-20|)典例讲评典例讲评答答: : 生活区建于两路生活区建于两路碑间的任意位置都满碑间的任意位置都满足条件足条件. .典例讲评典例讲评2020404060601010202030300 0xy求证　　　　　　.例3 已知　　　　　　　　　　　　　　　　，证明：典例讲评典例讲评典例讲评典例讲评例5  求证　　　　　　　　　　. 证明：在　　　　时，显然成立.当　　　　时，左边 典例讲评典例讲评思考感悟思考感悟如何理解如何理解|a|－－|b|<|a±b|<|a|＋＋|b|的几何意的几何意义？？提示：提示：三角形任意两三角形任意两边之差小于第三之差小于第三边，三，三角形任意两角形任意两边之和大于第三之和大于第三边．．课堂互动讲练课堂互动讲练 (1)设xy<0，，x，，y∈∈R，那么正确的是，那么正确的是(　　　　)A．．|x＋＋y|>|x－－y|B．．|x－－y|<|x|＋＋|y|C．．|x＋＋y|<|x－－y|D．．|x－－y|<||x|－－|y||考点一考点一含绝对值不等式的理解含绝对值不等式的理解考点突破考点突破例例1【【思思路路点点拨】】　　(1)由由于于xy<0，，x，，y异异号号，，利利用用|a|－－|b|≤≤|a＋＋b|≤≤|a|＋＋|b|判定．判定．(2)题易判定易判定m，，n与与1的大小关系．的大小关系．【【解解析析】】　　(1)法法一一：：特特殊殊值法法：：取取x＝＝1，，y＝－＝－2，，则满足足xy＝－＝－2<0，，这样有有|x＋＋y|＝＝|1－－2|＝＝1，，|x－－y|＝＝|1－－(－－2)|＝＝3，，|x|＋＋|y|＝＝3，，||x|－－|y||＝＝1，，∴∴选项C成立，成立，A，，B，，D不成立．不成立．法二：由法二：由xy<0得得x，，y异号，异号，易知易知|x＋＋y|<|x－－y|，，|x－－y|＝＝|x|＋＋|y|，，|x－－y|>||x|－－|y||，，∴∴选项C成立，成立，A、、B、、D不成立．不成立．【【答案答案】】　　(1)C　　(2)m≤≤n【【名名师点点评】】　　绝对值不等式性不等式性质的重要作的重要作用在于放用在于放缩，放，放缩的思路主要有两种：分子的思路主要有两种：分子不不变，分母，分母变小，小，则分数分数值变大；分子大；分子变大，大，分母不分母不变，，则分数分数值也也变大，注意放大，注意放缩后等后等号是否号是否还能成立．能成立．变式式训练1　　02B．．|log(1＋＋a)(1－－a)|<|log(1－－a)(1＋＋a)|C．．|log(1＋＋a)(1－－a)＋＋log(1－－a)(1＋＋a)|<|log(1＋＋a)(1－－a)|＋＋|log(1－－a)(1＋＋a)|D．．|log(1＋＋a)(1－－a)－－log(1－－a)(1＋＋a)|>|log(1＋＋a)(1－－a)|－－|log(1－－a)(1＋＋a)|【【思路点思路点拨】】　根据所　根据所证结论，，对““xy－－ab””进行凑配，凑出已知的行凑配，凑出已知的““x－－a，，y－－b””来来．．考点二考点二含绝对值不等式的证明含绝对值不等式的证明例例2【【名名师点点评】】　含　含绝对值不等式的不等式的证明明题主要主要分两分两类：一：一类是比是比较简单的不等式，往往可通的不等式，往往可通过平方法，平方法，换元法去掉元法去掉绝对值号号转化化为常常见的的不等式不等式证明明题，或利用不等式的性，或利用不等式的性质|a|－－|b|≤≤|a＋＋b|≤≤|a|＋＋|b|证明不等式，常要明不等式，常要对绝对值内的式内的式子子进行分析行分析组合、添合、添项减减项，使待，使待证式与已知式与已知之之间联系起来，最后通系起来，最后通过绝对值的运算完成的运算完成证明；另一明；另一类是是综合性合性较强强的函数型含的函数型含绝对值不不等式，等式，这时，往往可考，往往可考虑利用一般情况成立，利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法来程根的分布方法来证明．明． 已已知知a，，b，，c是是实数数，，函函数数f(x)＝＝ax2＋＋bx＋＋ c，， g(x)＝＝ ax＋＋ b，， 当当 －－ 1≤≤x≤≤1时 ，，|f(x)|≤≤1.(1)证明：明：|c|≤≤1；；(2)证明：当－明：当－1≤≤x≤≤1时，，|g(x)|≤≤2.【【思思路路点点拨】】　　对于于(1)用用一一般般到到特特殊殊的的思思想想，，即即c＝＝f(0)．．对于于(2)分分a>0，，a＝＝0，，a<0根据函数的根据函数的单调性性讨论．．例例3【【证明明】】　　(1)由条件当－由条件当－1≤≤x≤≤1时，，|f(x)|≤≤1，取，取x＝＝0，得，得|c|＝＝|f(0)|≤≤1，，即即|c|≤≤1.(2)当当a>0时，，g(x)＝＝ax＋＋b在在[－－1,1]上是增函数，上是增函数，∴∴g(－－1)≤≤g(x)≤≤g(1)．．∵∵|f(x)|≤≤1(－－1≤≤x≤≤1)，，|c|≤≤1，，∴∴g(1)＝＝a＋＋b＝＝f(1)－－c≤≤|f(1)|＋＋|c|≤≤2，，g(－－1)＝－＝－a＋＋b＝－＝－f(－－1)＋＋c≥≥－－(|f(－－1)|＋＋|c|)≥≥－－2，，由此得由此得|g(x)|≤≤2；；当当a<0时，，g(x)＝＝ax＋＋b在在[－－1,1]上是减函数，上是减函数，∴∴g(－－1)≥≥g(x)≥≥g(1)．．∵∵|f(x)|≤≤1(－－1≤≤x≤≤1)，，|c|≤≤1，，∴∴g(－－1)＝－＝－a＋＋b＝－＝－f(－－1)＋＋c≤≤|f(－－1)|＋＋|c|≤≤2，，g(1)＝＝a＋＋b＝＝f(1)－－c≥≥－－(|f(1)|＋＋|c|)≥≥－－2，，由此得由此得|g(x)|≤≤2；；当当a＝＝0时，时，g(x)＝＝b，，f(x)＝＝bx＋＋c.∵∵－－1≤≤x≤≤1，，∴∴|g(x)|＝＝|f(1)－－c|≤≤|f(1)|＋＋|c|≤≤2.综上，得综上，得|g(x)|≤≤2.【【名师点评名师点评】】　本题利用函数的单调性，结　本题利用函数的单调性，结合最值或值域，求绝对值的取值．合最值或值域，求绝对值的取值．变式式训练3　　设f(x)＝＝x2－－x＋＋13，，实数数a满足足|x－－a|<1.求求证：：|f(x)－－f(a)|<2(|a|＋＋1)．．证明：明：|f(x)－－f(a)|＝＝|(x－－a)(x＋＋a－－1)|＝＝|x－－a|·|x＋＋a－－1|<|x＋＋a－－1|＝＝|(x－－a)＋＋2a－－1|≤≤|x－－a|＋＋|2a|＋＋1<1＋＋2|a|＋＋1＝＝2(|a|＋＋1)．．∴∴|f(x)－－f(a)|<2(|a|＋＋1)．．例例误区警示误区警示【【错因因】】　本　本题错误在于不能保在于不能保证1＋＋|a＋＋b|≥≥1＋＋|a|,1＋＋|a＋＋b|≥≥1＋＋|b|成立．成立．对|a|－－|b|≤≤|a±b|≤≤|a|＋＋|b|的的诠释方法感悟方法感悟定理的定理的构成部构成部分分特征特征 大小关系大小关系等号成立的条件等号成立的条件左端左端|a|－－|b|可能可能是是负的的≤≤中中间部部分分中中间部分部分为|a＋＋b|时，，ab≤≤0，且，且|a|≥≥|b|时，左，左边的等号成立；中的等号成立；中间部分部分为|a－－b|时，，ab≥≥0，且，且|a|≥≥|b|时，左，左边等号成立等号成立定理的定理的构成部构成部分分特征特征大小关大小关系系等号成立的条件等号成立的条件中中间部部分分|a±b|肯定肯定是非是非负的的≥≥左端左端≤≤右端右端用用““＋＋””连结时，，ab≥≥0，右，右端取等号，端取等号，ab≤≤0，且，且|a|≥≥|b|时，左端取等号；用，左端取等号；用““－－””连结时，，ab≥≥0，且，且|a|≥≥|b|时，，左端取等号，左端取等号，ab≤≤0，右端取，右端取等号等号定理的定理的构成部构成部分分特征特征大小关大小关系系等号成立的条件等号成立的条件右端右端|a|＋＋|b|两个两个绝对值的的和是非和是非负的的≥≥中中间部分部分中中间部分部分为|a＋＋b|时，，ab≥≥0，等号成立；中，等号成立；中间部部分分为|a－－b|时，，ab≤≤0，等，等号成立号成立41 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！。