【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章立体几何初步双基限时练12(含解析)新人教B版必修2.pdf

1 双基限时练 ( 十二) 基 础 强 化1．已知直线l⊥平面 α，直线m? α，则 ( ) A．l⊥mB．l可能和m平行C．l与m相交D．无法确定解析直线l⊥平面 α，则l垂直于平面α 内任意一条直线，∵m? α，故l⊥m. 答案A 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面 ( ) A．有且只有一个B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析当a与b垂直时， 过a且与b垂直的平面有且只有1 个；当a与b不垂直时， 过a且与b垂直的平面不存在．答案B 3．已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α ，n? α ，则m∥nB．若 α∩β＝m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α ，n∥α ，则m∥nD．若m∥α ，m? β ，α∩β＝n，则m∥n解析A选项中m与n可能异面； B选项中n与 α 可能平行或在α 内；C选项中m与n的位置关系不确定，故A、B、C均错误， D是线面平行的性质定理，D成立．答案D 4．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为 ( ) A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断答案B 5. 2 如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有( ) A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB. ∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形．答案A 6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB中点，且∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为 ( ) A.12 5B.9 5C.6 5D.3 5解析如图，过A作AE⊥SB交SB于E，∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC. ∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，3 ∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE. ∵SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC. ∵D是AB中点，∴D到平面SBC的距离为1 2AE. 在 Rt△SAB中，SA＝ 4，AB＝ 3，∴AE＝125，∴D到平面SBC的距离为6 5. 答案C 能 力 提 升7．如图所示，P、Q、R分别是正方体的棱AB、BB1、BC的中点，则BD1与平面PQR的位置关系是 __________．答案垂直8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为 ________．解析连接BC. 4 ∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC. 又∵PA⊥平面⊙O，BC? 平面⊙O，∴PA⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在 Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm) ．答案21 cm 9．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于 ________．解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ. ∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2. 答案2 10.如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F. 求证：SC⊥平面AEF. 证明∵SA⊥平面ABCD，BC? 平面ABCD，∴SA⊥BC. 又∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面SAB. ∵AE? 平面SAB，∴BC⊥AE. 5 又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC. ∴AE⊥SC. 又∵EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF. 11．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC. (1) 求证：BE∥平面PDA；(2) 若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB. 证明(1) ∵EC∥PD，PD? 平面PAD，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平 面PDA. ∵EC? 平面EBC，BC? 平面EBC且EC∩BC＝C，∴平面EBC∥平面PDA. 又∵BE? 平面EBC，∴BE∥平面PDA. (2) 取BD中点M，连接MC，MN，∵N是PB中点， ∴MN∥PD，且MN＝12PD. ∵EC∥PD且PD＝2EC，∴EC∥MN且EC＝MN. ∴四边形MNEC是平行四边形，∴NE∥MC. ∵M是BD中点，且四边形ABCD是正方形，∴CM⊥BD. ∵PD⊥平面ABCD，且MC? 平面ABCD，∴PD⊥MC. ∵BD∩PD＝D，∴MC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB. 12．如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F. 6 (1 ) 求证：AF⊥SC；(2) 若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD. 证明(1) ∵SA⊥平面AC，BC? 平面AC，∴SA⊥BC. ∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AE. 又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC. ∴AE⊥SC. 又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF. ∴AF⊥SC. (2) ∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD. ∴DC⊥AG. 又由 (1) 有SC⊥平面AEF，AG? 平面AEF，∴SC⊥AG. ∴AG⊥平面SDC. ∴AG⊥SD. 品 味 高 考13．已知m，n为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β. 直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β ，则 ( ) A．α∥ β 且l∥αB．α⊥ β 且l⊥βC．α 与 β 相交 ，且交线垂直于lD．α 与 β 相交，且交线平行于l解析由于m，n为异面直线，m⊥平面 α ，n⊥平面 β，则平面α 与平面 β 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D. 答案D 。