初等几何变换变换.ppt

   u 计算u 证明u求轨迹u 解作图题     u   出现角平分线的题目u   求最小值的题目   平移变换可以将原图中的某些线段和角平移到一个新的位置，从而把比较分散的已知条件集中到一起，使问题得以解决u  线段的平移u  图形的平移   u 旋转变换用于题中出现相等的线段，如等腰三角形、等边三角形、正方形、一个线段被中点分成两个相等部分等u 在解题中一般旋转60°、90°、120°.   相似变换用于题设条件中出现壁纸或乘积时，要联想并寻找相似三角形例1：设AD为⊿ABC中角A的平分线，P为AD上任意一点，若AB>AC,求证AB-AC>PB-PC   例2、在⊿ABC中，BC>AB,BD平分∠B,交AC于D,求证：CD>DA  例3、在菱形ABCD中，AB=4a,E 在BC上，EC=2a,∠BAD=120°,点P在BD上，则PC+PE的最小值是多少    例4、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径OC⊥AB,点D在弧AC上，弧AD=2弧DC，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是多少例5、∠AOB=45°,PO=10，在角两边OA、 OB上分别有两点Q 、R，则⊿PQR周长的最小值是多少？例1、四边形ABCD中，AD∥BC, ∠B与∠C互余，点M 、N分别是AD 、BC的中点，试证明MN=½(BC-AD)例2、六变形ABCDEF中，AB ∥DE、BC∥  EF  、CD ∥ AF，对边之差BC-EF=ED-AB=AF-CD>0，求证该六边形的各角均相等。

例3、如图，在⊿ABC中，D、E是BC边上的两点，BD=CE,试说明AB+AC>AD+AE  例5、在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D，在另一腰AC延长线上取一点E,使CE=BD,连接 的，则DE>BC    例7、任意四边形中一双对边中点的连线不大于另一双对边和的一半    例1、P是等边三角形ABC 所在平面上的 一点，试说明  PA ≤  PB +  PC例2、在四边形ABCD中，∠ABC=30° ∠ADC=60° AD=DC证明：  BD²=AB²+BC²(费马问题)  费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小P称为费马点）  u三内角皆小于120°的三角形 u  三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.   u在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点Pu  在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P） 例3、五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°   AB=CD=AE=BC+DE=1，求这个五边形的面积例3，P为正方形ABCD内一点，若PA=a, PB=2a， PC=3a(a>0)（1）∠APB的度数（2）正方形的边长（结果保留根号）例4、⊿ABC是等腰直角三角形，AB=AC、D是BC边上的中点，E 、F分别是AB 、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求（1）⊿BDE和⊿DCF的面积之和。

    （2）求⊿DEF的面积证明：因为证明：因为 AC=AG , AE=AB, ∠ ∠GAB=∠ ∠CAE , 所以所以 △ △CAE≡△ △GAB(有两边及其夹角对应相等有两边及其夹角对应相等)，，所以所以∠ ∠ACE=∠ ∠AGB又因为又因为∠ ∠BPC=∠ ∠APG所以所以∠ ∠GAC=∠ ∠CQP=90°故故 BG ⊥ ⊥ CE又又 BG∥ ∥MK HM∥ ∥EC所以所以MH ⊥ ⊥ MK例例4：在：在△ △ ABC 两边两边AB和和AC上向外做正方上向外做正方形形ABDE和和ACFG，设，设H、、K、、M各为各为BE、、CG、、BC的中点证明的中点证明MH ⊥ ⊥MK 分析：因分析：因H、、M是是BE、、BC的中点，故的中点，故MH∥ ∥CE同理MK∥ ∥BG所以问题归结证所以问题归结证CE⊥ ⊥BG例5、在凸四边形的每一边上向外做正方形，求证两双对边上正方形中心的连线相等且垂直例6、两个正方形ABCD、AKLM有一个公共点A，求证这两个正方形的中心以及线段BM、DK的中点是某正方形的顶点  例7、设⊿ABC是正三角形，如图，在BC、 CA 、AB上各取一点A′、B′、B′，使AA′=CB′=AC′设AA′、BB′、CC′构成⊿A″B″C″。

求证⊿A′B′C′和⊿A′′B″C″也都是正三角形，并且有相同的重心  (托雷密定理)     圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和假设   ABCD为圆内接四边形，AC、 BD为其对角线求证   AC·BD=AB·CD+AD·BC   定理： 四边行内接于一圆的充要条件是两对角线之积等于两双对边乘积之和    由于图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.因此,我们在遇到一些比较难解决几何问题中,如果能够充分利用图形变换,把图形位置进行适当的改变,从而达到优化图形结构，进一步整合图形信息的目的，就会使得复杂的问题得以创造性地解决．谢谢大家例2、O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°， P是△ABC内任意一点求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC例5、在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC 、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值    对一般四边形ABCD,有AB·CD+AD·BC≥AC·BD   设P为△ABC内任一点，将△APC绕A点旋转，使C转到BA延长线上的C′点，P转到P′．这时的旋转角度为18O°-A≤60°，所以PP′≤AP．于是PA+PB+PC≥BP+PP′+P′C≥BC′=AB+AC．上式等号当且仅当P点与A点重合时成立．这就是说，当A≥120°时，极值点P是顶点A．综上可知，当△ABC的每一内角均小于120°时，使PA+PB+PC最小的极值点是三角形的费马点；当有一个内角≥120°时，极值点是最大角的顶点．例6、在⊿ABC中，点D是BC边上的中点，求证：AD≤  ½(AB+AC）   变换的作用：借助变换 ,可以使问题中的条件相对集中 ,从而起到化难为易 ,出奇制胜的效果，同时变换还是引出辅助线的重要思想方法。

证明：由于∠AOB=∠BOC=∠COA=120°故将△AOB绕点B旋转60°得△A’O’B, △BOO’为正三角形∴C O O’ A’四点共线，即将CO,BO,AO转化为一直线段CA’,要证明PA+PB+PC≥OA+OB+OC只需证PA+PB+PC≥CA’在上述旋转过程中，点P变为点P’, △PBP’也是正三角形，且△A’P’B≌△APB故PA+PB+PC=A’P’+P’P+PC显然A’P’+P’P+PC≥AO+OB+OC例4、在一个任意给定的三角形的每一边上，向外作一个正方形，这三个正方形中不与这三角形顶点重合的六个顶点构成一个六变形这个六边形显然有三条边等于这个三角形的边试证：其余三边中每一边等于这个三角形相应中线的两倍。