电路理论：第二章s1,s2 C—R条件.ppt

　第二章　　第二章　解析函数解析函数第一节第一节 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分一、导数的定义一、导数的定义设函数设函数 在区域在区域 内有定义内有定义,给自变量给自变量 一个一个增量增量 ，如果，如果 极限存在，则称极限存在，则称 在点在点 可导或可微，此极限值称为可导或可微，此极限值称为 注：若函数注：若函数 　　 在区域在区域 内任意一点处均可导，则称内任意一点处均可导，则称　　 在区域在区域 内可导在在 的导数，记作的导数，记作 或或 即:z)(zf二、例题：二、例题：例例1、、设设 ，， 求：求：即：即：常数的导数为零常数的导数为零例例2、、设设 ，， （（ 为正整数），求：为正整数），求：即：即：三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系定理定理1、、设函数设函数 是是 内的可导函数，则内的可导函数，则 必必 是是 内的连续函数，反之不然。

内的连续函数，反之不然例例3、、证明：证明： 在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导四、求导法则：四、求导法则：定理定理2、、设函数与在区域内可导，则有：设函数与在区域内可导，则有：五、高阶导数五、高阶导数称称极限极限为函数的二阶导数，记为：为函数的二阶导数，记为：还有三阶导数，还有三阶导数，n阶导数等，一般，二阶及二阶以阶导数等，一般，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数上的导数统称为高阶导数六、六、 微分的概念微分的概念 定义定义 设函数设函数w=f(z)在在z0的邻域内有定义，若的邻域内有定义，若则称则称函数函数f(z)在在z0可微可微，且把，且把A△△z称为函数称为函数w=f(z)的的微分微分，记作：，记作：命题命题 函数函数w=f(z)在在z0可导与在可导与在z0可微是等价的且可微是等价的且注：注：函数函数w=f(z)在区域在区域D内处处可微，则称该函数在内处处可微，则称该函数在区域区域D内可微第二节第二节 解析函数的概念解析函数的概念与柯西与柯西—黎曼方程黎曼方程一、解析函数的概念一、解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数f(z)在在z0的邻域内处处可导，那末称的邻域内处处可导，那末称f(z) 在在z0解析解析，如果，如果f(z)在区域在区域D内每一点解析，那内每一点解析，那末称末称f(z)在在D内内解析解析，或，或 称称 f(z)是是D内的一个内的一个解析函解析函数（全纯函数或正则函数）数（全纯函数或正则函数）。

如果如果f(z)在在z0不解析，不解析，那末称那末称z0为为f(z)的的奇点奇点注：闭区域上解析函数的定义：注：闭区域上解析函数的定义：若有一区域包含闭区域若有一区域包含闭区域D，， 且且 在此区域上解析，则称在此区域上解析，则称 在闭区域在闭区域D上解析注：注：函数在区域内解析与在区域内可导是等价的而函数在区域内解析与在区域内可导是等价的而 函数在一点解析与在一点可导不是等价的函数在一点解析与在一点可导不是等价的例例1 、、 研究函数研究函数w=1/z的解析性的解析性二、柯西二、柯西—黎曼方程黎曼方程（（Cauchy-Riemann)设函数设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域在定义域D，则下式：，则下式：称为称为柯西柯西-黎曼方程黎曼方程或或C—R条件定理一定理一函数：函数：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域在其定义域D内内一点一点Z处可导处可导的的充要条件是：充要条件是：u(x,y)与与v(x,y)在在D内可微，并且满内可微，并且满足柯西足柯西-黎曼方程黎曼方程定理二（解析函数的充要条件）定理二（解析函数的充要条件）函数：函数：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域在其定义域D内解析的内解析的充要条件是：充要条件是：u(x,y)与与v(x,y)在在D内可微，并且满内可微，并且满足柯西足柯西-黎曼方程。

黎曼方程推论推论1 若若u(x,y)与与v(x,y)的一阶偏导的一阶偏导在在(x,y) 点连续，点连续， 且满足且满足C-R条件，则条件，则 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在在 点点z=x+iy可导，且：可导，且：推论推论2　　 若函数若函数f(z)区域区域D内解析，且：内解析，且： 推论推论3 如果如果f(z)=u+iv在区域在区域D内解析，且内解析，且 那末曲线族那末曲线族u(x,y)=c1和和v(x,y)=c2必相互正必相互正 交交,其中其中c1,c2为常数例例2、、判断下列函数是否解析：判断下列函数是否解析：例例3、、设设 求常数求常数 使得使得 在全平面内解析在全平面内解析例例4、、证明：证明： 在复平面内在复平面内 解析，且解析，且。