2005年高考试题——数学理(江西卷).doc

2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学YCY本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分．第 I 卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24RS如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 3V次的概率 其中 R 表示球的半径knknPC)1()(一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 （ I B）= （ ABAZxI 则},21{},2,,3|{）A．{1} B． {1，2} C．{2} D．{0 ，1，2}2．设复数： 为实数，则 x= （ 2121 ),(, zRxizi若）A．－2 B．－ 1 C．1 D．2 3． “a=b”是“ 直线 ”的 （ 相 切与 圆 )()(22byaxy）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4． 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有 （ 123)(x）A．4 项 B． 3 项 C．2 项 D．1 项5．设函数 为 （ )(|,sin|i)(xfxf 则）A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为332C．周期函数，数小正周期为 D．非周期函数26．已知向量 （ 的 夹 角 为与则若 cacbacba ,25)(,5|),4(),21）A．30° B． 60°C．120° D． 150°7．已知函数 )()( xfxfy其 中的 图 象 如 右 图 所 示，下面四个图象中的 导 函 数是 函 数的图象大致是 （ ）)(xfy8． （ )2(1lim,1)(li1 xfxfx则若）A．－1 B． 1 C．－ D．21219．矩形 ABCD 中，AB=4 ，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B－AC－D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 （ ）A． B． C． D．125912561531510．已知实数 a, b 满足等式 下列五个关系式,)3(ba①01，解关于 x 的不等式； xkf2)1()18． （本小题满分 12 分）已知向量 .baxfxbxa  )(,42tan(),si(2),42tan(,cos( 令是否存在实数 若存在，?0(]0[ 的 导 函 数是其 中使 ffx则求出 x 的值；若不存在，则证明之.19． （本小题满分 12 分）A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求 的取值范围；（2）求 的数学期望 E .20． （本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点 E 在棱 AD 上移动.（1）证明：D 1E⊥A 1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D1—EC—D 的大小为 .421． （本小题满分 12 分）已知数列 :,}{且 满 足的 各 项 都 是 正 数na.)4(,21,0 Nna（1）证明 ;1n（2）求数列 的通项公式 an.}{第 5 页 共 10 页22． （本小题满分 14 分）如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线 上运动，过 P2:xyC 02:yxl作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A二、填空题13． 14． 15． 16．③④223三、解答题17．解：（1）将 得0124,3221 xbax分 别 代 入 方 程 ).(2)(,2184169xfbaa所 以解 得（2）不等式即为 0)1(,)1(22xkxkx可 化 为即 .0)(1)(kx①当 ).,2(,, x解 集 为②当 );,2(),101)(2 xk 解 集 为不 等 式 为时③ .),,,kx解 集 为时当18．解： )42tan()t()42sin(co2)(  xxbaxf12cossi2tan1t)cs2sin(co2  xxx.sinxxxf sincosi)(:,0即令 .c2 .0)(],0[2, xfx 使所 以 存 在 实 数可 得 19．解：（1）设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则 ，可得：915||m.,75:;9,7,2,7 ;6,,6505的 所 有 可 能 取 值 为所 以时或当 时或当时或当  nnm（2） ;4)21()7(13)()( 755CPP.3256495716;9E20．解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面 AA1DD1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E（2）设点 E 到面 ACD1 的距离为 h，在△ACD 1 中，AC=CD 1= ，AD 1= ，52故 .22,2351  BCSSACECAD而.31,21,11hhVDAECE（3）过 D 作 DH⊥CE 于 H，连 D1H、DE ，则 D1H⊥CE，∴∠DHD 1 为二面角 D1—EC—D 的平面角.设 AE=x，则 BE=2－x第 7 页 共 10 页,,,1, .1421 xEHDRtxDEARtH中在中在 中在.4,32.354.5,12的 大 小 为二 面 角时 中在中在 CxBtC 解法（二）：以 D 为坐标原点，直线 DA，DC ，DD 1 分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1（1 ，0，1） ，D 1（0，0，1） ，E（1，x，0） ，A（1，0，0）C（0，2，0）（1） .,),(,, 11 AxE所 以因 为（2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0） ，从而 ，)0,21(),(C，设平面 ACD1 的法向量为 ，则)1,0(1AD),(cban,1ADn也即 ，得 ，从而 ，所以点 E 到平面 AD1C 的距离2cabcab2)2,1(为 .312||1nEDh（3）设平面 D1EC 的法向量 ，∴),(cban,10)1,20(),,(DCxCE由 令 b=1, ∴c=2,a=2－x， .)(,1xbacn∴ ).2(x依题意 .25)(2||4cos 21 xDn∴ （不合，舍去） ， .321x 3∴AE= 时，二面角 D1—EC—D 的大小为 .421．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当 n=1 时， ,23)4(21,00aa∴ ，命题正确.10a2°假设 n=k 时有 .k则 )4(21)4(21, kkkk aaa时).4)((2111kk kkaa而 .0,0.0 111 kkk a又 .2])(4[2)(2kaa∴ 时命题正确.n由 1°、2°知，对一切 n∈N 时有 .1n方法二：用数学归纳法证明：1°当 n=1 时， ∴ ；,23)4(2,100aa210a2°假设 n=k 时有 成立，k令 ， 在[0，2] 上单调递增，所以由假设)4()(xxf(f有： 即,21akk ),24(1)4(21)41 kkkk aa也即当 n=k+1 时 成立，所以对一切1 ,1Nn有（2）下面来求数列的通项： 所以],)([)(22nn21)()(nnaa,nnnn bbbbb 2212121 1)()()(,   则令又 bn=－1，所以 2,)(na即22．解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ，))(,),(012120xx和∴切线 AP 的方程为： ;20yx切线 BP 的方程为： 211第 9 页 共 10 页解得 P 点的坐标为： 1010,2xyxPP所以△APB 的重心 G 的坐标为 ，PG310 ,34)(33 210210102010 pPG yxxxyy 所以 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：24Gpx).24(31,0)( xyyx即（2）方法 1：因为 ).41,(),41,(),,( 201020  xFBxFxFA由于 P 点在抛物线外，则 .|P∴ ,|41)41(|2||cos 0202010 FPxxFxAF 同理有 ,|41)41(|||cos 0221010 FPxxFPxBP ∴∠AFP=∠PFB.方法 2：①当 所以 P 点坐标为,0,,,00011 yxx 则不 妨 设由 于时，则 P 点到直线 AF 的距离为：)0,(1x ,41:;2| 21 xyBFxd 的 方 程而 直 线即 .04)(11xy所以 P 点到直线 BF 的距离为： 2|41|)()41(|2| 12112 xxxd 所以 d1=d2，即得∠AFP= ∠PFB.②当 时，直线 AF 的方程：0x ,041)(),402002 xyxy即直线 BF 的方程： ,041)(),(121xyy即所以 P 点到直线 AF 的距离为：，同理可2||41))(2|)41(2)(| 1002020010201 xxxxd 得到 P 点到直线 BF 的距离 ，因此由 d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.||012d。