曲边梯形的面积与定积分PPT精选文档.ppt

2021/4/251曲边梯形的面积曲边梯形的面积与定积分与定积分1.4.12021/4/252了解：几个常用求和公式了解：几个常用求和公式2021/4/253 1.曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，，由由连连续续曲曲线线y=f(x)，，直直线线x=a、、x=b及及x x轴轴所所围围成成的的图形叫做曲边梯形图形叫做曲边梯形Ox y a b y=f (x)一一. . 曲边梯形的定义曲边梯形的定义x=ax=b曲边梯形的特点曲边梯形的特点 ①①、只有一边是曲线、只有一边是曲线 ②②、其他三边是特殊直线、其他三边是特殊直线2021/4/254问题1圆的面积公式是如何推导的？2021/4/255 曲边梯形的面积将圆分成若干将圆分成若干等等份份无限分割！无限分割！2021/4/256 y = f(x)bax yO A1A   A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，，得得2021/4/257A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A22021/4/258A  A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A42021/4/259 y = f(x)bax yOA   A1+ A2 +       + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形于是曲边梯形的面积的面积A A近似为近似为A1AiAn—— 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2021/4/2510（（1 1）分割）分割把区间把区间[0，，1]等分成等分成n个小区间：个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲个小曲边梯形，他们的面积分别记作边梯形，他们的面积分别记作  例例1.求抛物线求抛物线y=x2、、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。

2021/4/2511（（2 2）） 近似代替近似代替(不足近似值) 2021/4/2512（（3 3）求和）求和2021/4/2513（（4 4）取极限）取极限2021/4/2514小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（（1 1））分割分割 （（2 2））近似代替近似代替（（3 3））求面积的和求面积的和 （（4 4））取极限取极限 不足近似值！不足近似值！2021/4/2515  (过剩近似值)2021/4/2516  (过剩近似值)2021/4/25172021/4/2518•求曲边梯形面积：•(1)思想：以直代曲．•(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．•(3)关键：近似代替．•(4)结果：分割越细，面积越精确．2021/4/25191、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ））A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确C练 习2021/4/2520二二.定积分定义定积分定义设函数设函数f f（（x x）在）在[a[a，，b]b]上连续，在上连续，在[a[a，，b]b]中任意插入中任意插入n-1n-1个分点：个分点：把区间[a,b]等分成n n个小区间，个小区间，则，这个常数则，这个常数A称为称为f(x)在在[a，，b]上的上的定积分定积分(简称积分简称积分)记作记作2021/4/2521被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和2021/4/2522曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值说明说明（（1））定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关2021/4/2523 1、如果函数如果函数f（（x）在）在[a，，b]上连续且上连续且f（（x））≥0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。

2、、定积分定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示形面积的代数和来表示定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？2021/4/25242021/4/2525•【错因分析】　在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误．解：错解！错解！2021/4/25262021/4/2527定积分的简单性质定积分的简单性质2021/4/2528题型题型1：：定积分的简单性质的应用定积分的简单性质的应用2021/4/2529题型题型2：：定积分的几何意义的应用定积分的几何意义的应用8 8问题问题1 1：：你能求出下列格式的值吗？不妨试试你能求出下列格式的值吗？不妨试试2021/4/2530理解练习见学案例1；例2；例32021/4/25312021/4/2532微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间[a,b]上连续，并且上连续，并且F’(x)＝＝f（（x)，则，，则，这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿－莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式（（Newton-Leibniz Formula).2021/4/2533说明：说明：牛顿－莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数F F( (x x) )，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间[ [a,ba,b] ]上的增量上的增量F F( (b b) )–F F( (a a) )即可即可. .该公式该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。

把计算定积分归结为求原函数的问题2021/4/2534解解（１）（１）找出找出f(x)的原函的原函数是关键数是关键例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 2021/4/2535练习练习1:2021/4/2536例２．计算定积分例２．计算定积分 解解:2021/4/2537 达标练习：达标练习： 初等函数初等函数2021/4/2538微积分基本定理微积分基本定理三、小结2021/4/2539定积分公式定积分公式2021/4/2540牛顿•牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝•  牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位随后两年在家乡躲避瘟疫这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位1669年任卢卡斯教授直到1701年1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦1703年任英国皇家学会会长1706年受女王安娜封爵他晚年潜心于自然哲学与神学•  牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。

返回返回2021/4/2541莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面返回返回2021/4/2542基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式返回返回2021/4/2543。