曲线积分与曲面积分6课件.ppt

第九章第九章 曲线积分与曲面积曲线积分与曲面积分分curvillnear integral and surface integral1曲线积分与曲面积分(6)定积分定积分积分区域积分区域区间区间平面区域平面区域空间区域空间区域二重积分二重积分三重积分三重积分曲线曲线曲面曲面曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分数量值函数数量值函数向量值函数向量值函数(第一类第一类)(第二类第二类)2曲线积分与曲面积分(6)第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分第九章第九章第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 (对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分)问题的提出问题的提出第一类曲线积分第一类曲线积分的概念的概念第一类曲线积分第一类曲线积分的计算的计算小结小结 思考题思考题 作业作业3曲线积分与曲面积分(6)一、问题的提出一、问题的提出1. 柱面的面积柱面的面积设曲面设曲面是以是以xOy面上的面上的曲线曲线L为准线为准线,母线平行母线平行于于Z轴的一部分，轴的一部分， 其高度其高度是一个是一个变量变量, 求此曲面的面积求此曲面的面积.则小柱面面积的近似值为则小柱面面积的近似值为第一类曲线积分第一类曲线积分4曲线积分与曲面积分(6)柱面面积为柱面面积为当当n个小弧段弧长的最大值个小弧段弧长的最大值趋于零时，趋于零时，和式和式的极限就是柱面面积的精确值，即的极限就是柱面面积的精确值，即第一类曲线积分第一类曲线积分2. 曲线形构件的质量曲线形构件的质量设曲线形构件占有设曲线形构件占有xOy面上的一面上的一条曲线条曲线L,其线密度为其线密度为求此曲线形构件的质量求此曲线形构件的质量.5曲线积分与曲面积分(6)匀质匀质之质量之质量分割分割求和求和取极限取极限取近似取近似近似值近似值精确值精确值第一类曲线积分第一类曲线积分6曲线积分与曲面积分(6)二、二、第一类曲线积分第一类曲线积分的概念的概念1.1.定义定义设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,在在L上有界上有界.作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的①①②②③③长度为长度为一点一点,④④第一类曲线积分第一类曲线积分7曲线积分与曲面积分(6)曲线形构件的质量曲线形构件的质量即即这和的极限存在这和的极限存在, 则称此极限为数量值则称此极限为数量值在曲线在曲线 L上的上的曲线积分曲线积分,(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分).或或第一类曲线积分第一类曲线积分 积分和式积分和式被积函数被积函数 弧长元素弧长元素积分曲线积分曲线记作记作第一类曲线积分第一类曲线积分柱体的面积柱体的面积8曲线积分与曲面积分(6)2. 存在条件存在条件3. 推广推广第一类曲线积分第一类曲线积分连续连续, ,的第一类曲线积分为的第一类曲线积分为第一类曲线积分第一类曲线积分或者或者有界有界,并只有并只有有限个间断点有限个间断点时时,9曲线积分与曲面积分(6)注意注意闭曲线闭曲线L L上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作第一类曲线积分第一类曲线积分与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关, 即即⌒⌒⌒⌒(1)10曲线积分与曲面积分(6)4. 性质性质 (1)(2)(3)第一类曲线积分第一类曲线积分(对路径具有可加性对路径具有可加性)(4)11曲线积分与曲面积分(6) 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上关于上关于x 的奇函数的奇函数 是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 L1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续, 则则当当(或或y)(或或y)当当(或或x轴轴)(或或x)第一类曲线积分第一类曲线积分运用对称性简化第一类曲线积分计算时运用对称性简化第一类曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 的奇偶性与积的奇偶性与积分曲线分曲线L的对称性的对称性.12曲线积分与曲面积分(6)例例其中其中L是圆周是圆周解解因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于线性性线性性, ,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数第一类曲线积分第一类曲线积分13曲线积分与曲面积分(6)三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算定理定理其中其中则则有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,解法解法 化为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算注意注意弧长元素弧长元素定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限!第一类曲线积分第一类曲线积分14曲线积分与曲面积分(6)特殊情形特殊情形(1)(2)第一类曲线积分第一类曲线积分15曲线积分与曲面积分(6)(3)特殊情形特殊情形推广推广第一类曲线积分第一类曲线积分16曲线积分与曲面积分(6)或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程再按上述方法计算再按上述方法计算.为参数为参数),第一类曲线积分第一类曲线积分17曲线积分与曲面积分(6)例例解解例例解解对对x积分积分?第一类曲线积分第一类曲线积分18曲线积分与曲面积分(6)解此题可用解此题可用故故⌒⌒对称性质对称性质第一类曲线积分第一类曲线积分例例解解⌒⌒19曲线积分与曲面积分(6)在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.⌒⌒提示提示解解⌒⌒⌒⌒第一类曲线积分第一类曲线积分20曲线积分与曲面积分(6)故故第一类曲线积分第一类曲线积分21曲线积分与曲面积分(6)(1)(2)四、几何四、几何意义意义柱面面积柱面面积弧长弧长第一类曲线积分第一类曲线积分几何意义几何意义22曲线积分与曲面积分(6)例例解解 由于由于 有有的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全对称对称, 第一类曲线积分第一类曲线积分23曲线积分与曲面积分(6) 物理意义物理意义第一类曲线积分第一类曲线积分24曲线积分与曲面积分(6)第一类曲线积分第一类曲线积分的概念的概念第一类曲线积分第一类曲线积分的计算公式的计算公式第一类曲线积分第一类曲线积分的应用的应用五、小结五、小结(四步四步:分割、取近似、求和、取极限）分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、重心、转动惯量曲线的质量、重心、转动惯量)第一类曲线积分第一类曲线积分25曲线积分与曲面积分(6)思考题思考题 是非题是非题对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为当利用参数方程化为定积分计算时定积分计算时,不管起点还是终点不管起点还是终点,其下限为较其下限为较小端点的参数值小端点的参数值,上限为较大端点的参数值上限为较大端点的参数值.是是第一类曲线积分第一类曲线积分26曲线积分与曲面积分(6)作作 业业习题习题9-1 (1259-1 (125）） 1. (1) (3) (5)(6) 2. 3. 4. 第一类曲线积分第一类曲线积分27曲线积分与曲面积分(6)曲线积分与曲面积分(6)。