概率论与数理统计 课件7.pdf

第七章第七章第七章第七章 参数估计参数估计参数估计参数估计开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平Email:yapingliu66@§§7.1 点估计点估计F(x;θ θ)也可用分布律或密度函数代替.定义7.1.1 定义7.1.1 设总体X X分布函数为F(x; F(x; θ θ), ), θ∈Θθ∈Θ其中θ为未知参数, Θ Θ为参数空间, X, X1 1，，…， X， Xn n是X的一个样本，观察值为x1，x2，…，xn构造统计量(X(X1 1，，…， X， Xn n)，)，用它的观察值(x1，x2，…，xn)来估计未知参数θ θ, 则称 （x1，x2，…，xn）为θ θ的一个估计值，称(X(X1 1，，…， X， Xn n) )为θ的一个估计量，它是一个随机变量简记为ˆθˆθ ˆθˆθ ˆθ点估计的一般方法是矩估计法矩估计法与极大似然法极大似然法矩估计法矩估计法基本原理基本原理：用样本矩作为总体同阶矩的估计，即11().n rr rir imE XXAn====∑例：设X例：设X1 1，，…， X， Xn n为取自总体B(m,p),的样本， 其中m已知，00, 有ˆlim(||)1nnP θθε →∞−<=则称是的一致估计量一致估计量（或称相合估计量）ˆθθ例 ：设X例 ：设X1 1，，…， X， Xn n为取自任意总体X的样本，且X的期望得和方差均存在，证明样本均值是总体均值的一致估计量。

为取自任意总体X的样本，且X的期望得和方差均存在，证明样本均值是总体均值的一致估计量µ2σXµ§§7.3 区间估计区间估计7.3.1 置信区间7.3.1 置信区间^^12{}1*P θθθα<<= −定义：定义： 设总体X的分布函数F(x；θ)含有未知参数θ ，对于给定值α（0< α<1),若由样本X X1 1, , …, X, Xn n确定的 两个统计量和使^11(,,)nXXθ?^21(,,)nXXθ?则称随机区间为θ的置信度为1−α的置信 区间^^12(,)θθ 和分别称为1−α的置信上限和置信下限^1θ^2θ1−α称为置信水平（置信度）置信水平（置信度）区间估计的基本思想：区间估计的基本思想：(1)设X1，X2，…，Xn是总体X的样本，取未知参数θ的一个较优的无偏点估计;^1(,,)nXXθ?(2)从无偏估计θ出发，构造一个样本的函数1(,,; )nWW XX θ=?且W的分布已知，仅含有一个未知数θ，W的分位点可查表；(3)对于给定的置信水平1-α，查W的α/2与1- α/2分位点a,b, 使得{}1P aWbα<<= −(4)从不等式a

此时有^^12(,)θθ^^12{}1P θθθα<<= −7.3.2 正态总体未知参数的置信区间7.3.2 正态总体未知参数的置信区间（（1）一个正态总体的情形）一个正态总体的情形的置信区间下，来确定在置信度的一个样本为总体设][1),(~,,212 1 θθµασµ−NXxxn?1、已知1、已知σ2σ2= = σ02σ02，求总体均值，求总体均值μ的置信区间的置信区间(2)构造样本函数0~(0,1)/XUNnµ σ−=(1)是一个较优的无偏点估计;Xµα/2α/22αµ120αµ−1-α(3)对于给定的置信水平1-α，查U的α/2与1- α/2分位点使得/21/2,ααµµ−1/2{||}1P Uαµα−<= −(4)解不等式1/2||Uαµ−<得置信区间为00 1/21/2(,)XXnnαασσµµ−−−+例：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得 它们的直径(单位：mm)为 5.52, 5.41, 5.18, 5.32, 5.64, 5.22, 5.76 若钢球直径服从正态分N（μ，0.162)，求这种钢球 平均直径μ的置信度为95%的置信区间2、2、σ2σ2未知，求总体均值未知，求总体均值μ的置信区间的置信区间(2) 构造样本函数~ (1)/Xtt nSnµ−=−(1)是一个较优的无偏点估计;Xµ(3)对于给定的置信水平1-α，查t(n-1)的α/2与1- α/2分位点使得/21/2(1),(1)tntnαα−−−2(1)tnα−120(1)tnα−−1-α/21/2{(1)(1)}1P tnttnαα α−−<<−= −(4)解不等式1/2| |(1)ttnα−<−得置信区间为1/21/2((1),(1))SSXtnXtnnnαα−−−−+−例：从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个，测得 它们的直径(单位：mm)为 5.52, 5.41, 5.18, 5.32, 5.64, 5.22, 5.76 若钢球直径服从正态分N（μ，σ2)，且σ2未知，求 这种钢球平均直径μ的置信度为95%的置信区间。

3、3、 μ未知，求总体方差未知，求总体方差σ2σ2的置信区间的置信区间(2) 构造样本函数2 22 2(1)~(1)nSnχχσ−=−(1)是一个较优的无偏点估计;2S2σ(3)对于给定的置信水平1-α，查χ2的α/2与1- α/2分位点使得22 / 21/ 2,ααχχ−222 /21/2{(1)(1)}1Pnnααχχχα−−<<−= −(4)解不等式222 / 21/ 2(1)(1)nnααχχχ−−<<−得置信区间为22 2 22 1/2/2(1)(1) (1)(1)nSnS nnαασχχ−−−<<−−例例: 设某机床加工的零件长度，),(~2σµNX 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间。