直线与双曲线关系的研究论文.doc
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高 中 数 学 讲 义 （手 稿 汇 编）关于直线与双曲线位置关系的教学思考研究一、问题缘由：由于双曲线不像圆与椭圆，是由封闭曲线形成的平面图形，也不像抛物线是单支曲线，故直线与双曲线位置关系比直线与上述曲线关系要复杂，笔者在教学过程中，碰到很多学生在这个问题上出错直线与双曲线的位置关系，如何用相对简易的方法来判定呢？如何使学生能轻松的完全掌握透呢？又如何通过该问题提升学生的思维层次呢？这便是笔者教学研究的重点问题二、 问题切入：初三数学平面几何中圆切线定义是不适用于双曲线的，这里撇开高数对于曲线切线的定义不谈，直线与双曲线的位置关系，在直观上，相切于一点与相交于一点，也很容易理解，为方便叙述与区分，以及深入研究问题，达到完全掌握透的效果，如图所示，其中对于直线与双曲线相交的三种不同情形依次定义为：半交、同交、异交下面按照原理逻辑的深浅层次给出一般法判定的四个充要条件 相 离 相 切 相交（半交） 相交（同交） 相交（异交）1、判定直线与双曲线位置关系充要条件1：已知双曲线方程为：（>0，>0），若直线斜率不存在，设直线方程为：。
若直线斜率存在，设为：，此时联立直线与双曲线方程，记作，若，则，当>0时，设根为，则，1）相离 或 < 或<时，，，即直线与双曲线的渐近线重合，显然相离，此时，即联立的方程不成立直线斜率不存在时，<，也显然相离；<，方程无解，即直线与双曲线没有交点，故相离，此时一定有>故以命题的角度须注意理解：相离；<相离；<相离；>相离 （2）相切或即直线方程，显然相切 ，即方程只有一个根，这就表示直线与双曲线只有一个交点，但须注意，有一个交点并不一定就是相切，还有可能相交（半交），故须说明满足相切且不满足相交（半交）从后面半交的充要条件易知半交时，而相切时的前提条件是，故很容易区分相切与半交3） 相交（半交）且半交实际上是渐近线平移后所得的直线与双曲线交于一点（当然平移单位是不为0的常量）易知斜率存在，联立与方程得：，，即，，若，则直线与渐近线重合，是前面相离的一种情形，故，，而<，此时联立的方程简记为：，易知只有一个根，直线与双曲线只有一个交点，这与上面只有一个根，直线与双曲线也只有一个交点在状态上有本质的区别，一个是交于一点，一个是切于一点下面我们再通过交点位置，分析一下半交图像情况设交点坐标，则=，，显然的正负由、决定，的正负由决定，而为直线斜率，为直线纵截距，两者正负、大小在平面直角坐标系中相对很直观，故有下述结论：当，<，或，<<时，易知>，<，在第四象项半交于右支；当，=，或，=时，易知，，半交于双曲线的右顶点；当，<<，或，>，易知>，>，在第一象项半交于右支；当，0<<，或，<，易知<，<，在第三象项半交于左支；当，=，或，=时，易知，，半交于双曲线的左顶点；当，>，或，<<，易知<，>，在第二象项半交于左支；（4） 相交（同交）>或>，>。
直线斜率不存在时，直线方程，>，即>或<，显然同交直线斜率存在时，>，直线与双曲线有两个交点，>>，即这两个交点在双曲线的同一支上（或在轴同一侧，或轴的同半轴上），直观上称之为同交，此时一定有>5） 相交（异交）>，<显然直线斜率必存在，>，直线与双曲线有两个交点，<<，即这两个交点不在双曲线的同一支上（或分居轴的两侧，或在轴的不同半轴上），直观上称之为异交，此时一定有< 从充要条件1相交（半交）分析叙述的结论中，易知根据直线的斜率与纵截距，我们可以明确判断出直线是否与双曲线半交，若半交，更可以清楚的判定出半交的图像情况但若不半交，就什么都不知道，该结论便无用处了，于是提出问题：既然半交可以从直线的斜率、纵截距判定位置关系以及图像情况，那么相离、相切、同交、异交能不能呢？对于上述问题，我们从直线与双曲线位置关系的5个图中不难发现，根据不能判定位置关系于是换个方向思考，通过斜率与横截距呢？于是得到判定直线与双曲线位置关系的第二个充要条件2、判定直线与双曲线位置关系充要条件2：已知双曲线方程为：（>0，>0），若直线斜率不存在，设直线方程为：；若直线斜率存在，设为：，当时，直线的横截距记为。
相离或相切统称为不相交1）不相交 或 且 或 >且<2）半交且3）同交> 或 >且4）异交<依据充要条件2，可得下述更简易、更实用的结论（注：下述结论中的双曲线仍为焦点在x轴上的双曲线，直线斜率不存在时和存在且不为0时，均以表示直线的横截距1）若直线斜率存在且不与渐近线重合，则>且<不相交；2）直线斜率存在时，经过原点且的直线必与双曲线相离；3）经过原点的直线必与双曲线相离或异交；4）与双曲线相切的直线，其横截距必满足<或<；5）斜率存在且与双曲线相切的直线，其斜率必满足 >6）若直线斜率存在，与双曲线相切的必要条件是 >且<<，但不是充分条件7）若直线斜率存在且，直线必不与双曲线相切，也必不与双曲线同交充要条件2的推导证明可从充要条件1得来，即联立方程判定，在此不再赘述，实际上在直线与双曲线位置关系的5个图中，通过对直线作不同的平移、旋转，再观察、分析、总结，更容易得出结论，也更容易理解在此，须注意：依据充要条件2及其结论，可以明确判定半交、同交、异交，但是不能明确判定相离与相切，而半交、异交与同交实际定义上都是相交，故而依据充要条件2只能判定相交与不相交，而不能判定相离与相切，但这并不表示它作用就局限于判定相交与不相交上，实际上，解题过程中，若结合题目其它条件，善加运用，充要条件2及其结论可以大大缩小问题的考虑范围，判定图像情况。
如依据充要条件2结论3，易知经过原点的直线必不与双曲线相切再如依据充要条件2结论7，易知它包含了充要条件1半交中叙述的一个结论：若直线与渐近线平行，直线不可能与双曲线相切 当然，数学需要精益求精，既然充要条件2不能判定相离与相切，那么能否完善它呢？仔细观察直线与双曲线位置关系的5个图，不难发现平面直角坐标系内任意一直线都一定会经过双曲线左支与右支之间的区域（不含双曲线上的点），而这一区域任意一点坐标代入双曲线方程，又恒有<，据此，我们便能得到判定直线与双曲线位置关系的第三个充要条件，也是相对简易、完美的一个充要条件3、判定直线与双曲线位置关系充要条件3：某直线上任意一点坐标代入双曲线方程，若恒有<相离；若恒有且存在=相切；若存在>相交 依据充要条件3，可得下述结论：设，最大值记为1） <直线与双曲线相离；（2） 直线与双曲线相切；（3） >0直线与双曲线相交4） 若为的一次函数，直线与双曲线半交5） 若为>的二次函数，>时，直线与双曲线异交，<时直线与双曲线同交6） 若（为常数）且>，直线与双曲线同交 充要条件3及其结论本质上就是运用函数与不等式思想来处理直线与双曲线位置关系问题，运用其解题时也不易漏解、错解。
不过由于解题时，很多时候我们碰到的直线方程是一般式，那么，不妨思考：有没有直线方程一般式判定直线与双曲线位置关系的方法或定式呢？依据充要条件2，易变形推导下面判定直线与双曲线位置关系的第四个充要条件4、判定直线与双曲线位置关系充要条件4：已知双曲线C方程（>，>），一直线L方程为：若，斜率，纵截距，若，横截距，易知，不可能同时为相离或相切统称为不相交1） 若，则>相离；相切；<同交2） 若，则直线必与双曲线异交3） 若，则 、或>且>不相交； 、 半交； 、>且同交； ④、<异交4） 若且，则相离； （5） 相离或异交； 由于充要条件4是从充要条件2变形转化得来，故它与充要条件2一样，即相切包含于不相交中，判定了不相交，却无法判定相切与相离于是提出问题：对于直线一般式，有没有一个定式能明确判定相切呢？从充要条件4中不难发现代数式对直线斜率存在且不为0时所有判定结果都起着不可或缺的作用，又基于相切的特殊性优于相离、相交，故而宜从相切的角度来分析研究的规律，若能分析研究出相切时具有某规律，则再说明相离与相交时不具有这样规律，便能得到判定相切的充要条件了如下所述：已知双曲线C方程为（>0，>0），设切点P（），由双曲线切线推论易知：切线L方程为：，将之整理成一般式：，即，，。
若，即斜率不存在，易知切线，=，若易知且，==，又，即，==综上就说明若直线L：，则是直线L与双曲线相切的必要条件依据充要条件4，（1）（2）（3）下的④以及（4）（5）显然都不满足，而（3）中易知是相离，显然也不满足，故而整个问题的关键是（3）中>且>是不相交，如何说明这其中的相离不满足，易知此时的相离可以看作是此时的相切平移得来的，实际除了直线与渐进线重合外，所有的相离与同交都是相切平移得到的，故而不妨设切线方程为：，则，设切线平移后直线方程为：，假设相离，也满足，则，即或，易知时，与重合，不满足假设，故设上任意一点（）带入双曲线方程得：，依据充要条件条件3及其结论易知，即必可配方为；，故用替换中，即为上任意点（）带入双曲线方程所得：，观察两式结构易知，除一次项系数互为相反数外，二次项系数与常数项完全相同，故必可配方为，即易知，故与双曲线也相切，也不满足假设，这就说明原假设不成立，故而也就说明此时的相离不满足综上所述：给出直线一般式判定直线与双曲线相切的充要条件：1 本讲义系笔者教学原创手稿汇编，以期提高高中数学教育水平，若有不足之处，诚恳来电、来函批评指正王老师（联系方式）：15256339402 邮箱：354036657@.com 地址：宣城市法制路宝城社区一单元304。
