平面基本性质与推论.ppt

1.2.1平面的基本性质与推论一．平面的基本性质： 1．公理1： ①文字语言：如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 ；②图形语言：③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α AB α. 练习：（1）2） 公理1的作用：作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；2．公理2： ①文字语言：经过不在同一条直线上的三 点，有且只有一个平面，也可以说成不共 线的三点确定一个平面②图形语言：③符号语言：A、B、C三点不共线，有且 只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.如何理解公理2？ (1)公理2是确定平面的条件. (2)深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有” 是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“ 有且只有”强调平面存在并且惟一这两方 面.3. 公理3： ①文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过这个 点的公共直线.②图形语言：③符号语言： P∈l.P∈(α∩β) α∩β=l如何理解公理3？(1) 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.(2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.(3) 公理3的作用:其一判定两个平面是否相交;其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点上.因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.二. 平面基本性质的推论 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a与A共属于平面α且平面α惟一 .（1）推论1： a是任意一条直线 点A a （2）推论2： 文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一 个平面. 图形语言： 符号语言： a，b共面于平面α，且α是惟一的 .b是任意一条直线 a是任意一条直线 a∩b=A（2）推论3： 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 个平面. 图形语言： 符号语言： a，b共面于平面α，且α是惟一的 .a，b是两条直线 a//bm图2l三、空间中两直线的位置关系lmP图1从图中可见，直线 l 与 m 既不相交， 也不平行。

空间中直线之间的这种关 系称为异面直线不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线既不相交也不平行的两条直线 ）1、异面直线判断： (1)图中直线m和l是异面直线吗?αβ lmml(2) ,则a与b是异面直线吗？ (3) a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托, 异面直 线不同在任何一个平面的特点.(1)相交(2)平行只有一个公共点 没有公共点在同一平面ml2、空间中两直线的三种位置关系(3)异面直线mPl没有公共点不同在任一平面mlP探究:HGCADBE FGHEF(B) (C)DA一个正方体的展开图如上，则AB,CD, EF,GH这四条线段所在的直线是异面直 线的有几对?相交直线有几对?平行直线 有几对?直线和平面位置关系的符号表示. （1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不 在平面α内，记作B α； （2）直线l在平面α内，记作l α，直线m 不在平面α内，记作m α；（3）平面α与平面β相交于直线l，记作 α∩β=l； （4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}, 简记为l∩m=A.例1．如图，平面ABEF记作α，平面 ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B α，E α，C α，D α； （2）A∈β，B β，C β，D β，E β，F β； （3）α∩β= ；∈∈∈∈∈AB例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）. 例3．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？4个3个1个或3个例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中 ，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出 平面BED1F与平面ABCD的交线.解：在平面AA1D1D 内 ，延长D1F，∵ D1F与 DA不平行，因此D1F与 DA 必相交于一点，设 为P， PP又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F 内.则P∈D1F，P∈DA ，AD 平面ABCD，P∈ 平面ABCD， 又B为平面ABCD与平 面BED1F的公共点，∴连结PB，PB 即为 平面BED1F 与平面 ABCD的交线. 例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，∵ P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α.∴ P是面ABC与面α的公共点， ∵ 面ABC∩面α=l，∴P∈l， 同理，Q∈l，R∈l， ∴ 点P、Q、R在同一条直线 l上. 。