1997考研数一真题解析.pdf

1 19971997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 分分, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案在题中横线上把答案在题中横线上.).) (1)【答案】 3 2 【分析】这是 0 0 型极限.注意两个特殊极限 00 sinln(1) lim1,lim1 xx xx xx . 【解析】将原式的分子、分母同除以x,得 2 00 1sin1 3sincos3cos 3 limlim. ln(1) (1 cos )ln(1)2 (1 cos ) xx x xxx xxx x xx x x 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是 0 ( ) lim ( ) xx fx g x 应存在或为,而本题中, 2 00 111 (3sincos)3cos2 cossin limlim 1 cos (1 cos )ln(1) sin ln(1) 1 xx xxxx xxx x xx xx x 极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则. 【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】( 2,4) 【解析】考察这两个幂级数的关系.令1tx,则 1212 111 nnn nnn nnn na ttna tta t . 由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径, 1 n n n a t 的收敛半径为 3 1 n n n a t 的收敛半径为 3.从而 21 11 nn nn nn ta tna t 的收敛半径为 3,收敛区间即 (-3,3),回到原幂级数 1 1 (1)n n n nax ,它的收敛区间为313x ,即( 2,4). 评注：评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于 0 n n n a x ,若 1 lim n n n a a 它的收敛半径是 1 R .但是若只知它的收敛半径 为R,则 1 1 lim n n n a aR ,因为 1 lim n n n a a 可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形). (3)【答案】 2 xye 【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率 x k y ,而 x y 可由e的参数方程 2 coscos , sinsin xe ye 求得： 2 sincossincos ,1 cossincossin xx yee yy xee , 所以切线的方程为 2 (0)yex ,即 2 xye . 评注：评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系. (4)【答案】3t 【解析】由0AB ,对B按列分块,设 123 ,B ,则 123123 ,0,0,0ABAAAA , 即 123 , 是齐次方程组0Ax 的解. 又因BO,故0Ax 有非零解,那么 122102 43433730 311301 Attt , 由此可得3t . 评注：评注：若熟悉公式0AB ,则( )( )3r Ar Bn,可知( )3r A ,亦可求出3t . (5)【答案】 2 5 【解析】方法方法 1 1：利用全概率公式. 求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用 全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题. 设事件 i A “第i个人取得黄球”,1,2i ,则完全事件组为 11 ,A A(分别表示第一个人 取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知 1 202 505 P A 黄球的个数 球的总数 ； 1 303 505 P A 白球的个数 球的总数 ； 21 20 119 | 50 149 P AA (第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20 119 ,球 的总数变成50 149 ,第二个人取得黄球的概率就为 19 49 )； 21 20 | 49 P AA(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为 20,球的总数变成 50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为 20 49 ). 故应用全概率公式 2121121 2 193 202 | 5 495 495 P AP A P AAP A P AA. 3 方法二：方法二：利用“抽签原理”. 只考虑第二个人取得的球,这 50 个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个 人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的, 这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有 20 个,所以第二个人取到黄球的概率为 202 505 . 【相关知识点】1.全概率公式: 2121121 |P AP A P AAP A P AA； 2. 古典型概率公式：() i i A P A 有利于事件 的样本点数 样本空间的总数 . 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) ) (1)【答案】(C) 【解析】这是讨论( , )f x y在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义 0 0 (0,0)(0,0) ( ,0),(0, ) x y fdfd f xfy xdxydy , 由于( ,0)0(),(0, )0()f xxfyy, 偏导数且 (0,0)(0,0) 0,0 ff xy . 再看( , )f x y在(0,0)是否连续？由于 2 22 ( , )(0,0) 0 1 lim( , )lim(0,0) 2 x y x y x x f x yf xx , 因此( , )f x y在(0,0)不连续.应选(C). 评注评注： 证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数( , )f x y在某点 000 (,)Mxy不连续的方法之一是： 证明点( , )x y沿某曲线趋于 0 M时,( , )f x y的极限不存在 或不为 00 (,)f xy. 证明 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x y 不存在的重要方法是证明点( , )x y沿两条不同曲线趋于 000 (,)Mxy时,( , )f x y的极限不想等或沿某条曲线趋于 0 M时,( , )f x y的极限不存在. 对于该题中的( , )f x y,若再考察 ( , )(0,0)( , )(0,0) 0 0 1 lim( , )lim00lim( , ) 2 x yx y y xy x f x yf x y , ( , )(0,0) lim( , ) x y f x y 不存在. 4 C ab E D x y O AB 由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如 ( , ),f x yxy它在点(0,0)处连续,但(0,0) x f 与(0,0) y f 都不存在.可见二元函数的连 续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系. (2)【答案】(B) 【解析】方法方法 1 1：用几何意义.由( )0,( )0,( )0f xfxfx可知,曲线( )yf x是 上半平面的一段下降的凹弧,( )yf x的图形大致如右图. 1 ( ) b a Sf x dx是曲边梯形ABCD的面积； 2 ( )()Sf b ba是矩形ABCE的面积； 3 1 ( )( )() 2 Sf af bba是梯形ABCD的面积. 由图可见 213 SSS,应选(B). 方法方法 2 2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的( )f x都成立的结果,故可以取满足条件的 特定的( )f x来观察结果是什么.例如取 2 1 ( ),1,2f xx x ,则 2 123213 2 1 1115 , 248 SdxSSSSS x . 【评注】本题也可用分析方法证明如下： 由积分中值定理,至少存在一个点,使( )( )(), b a f x dxfba ab 成立,再由 ( )0,fx所以( )f x是单调递减的,故( )( ),ff b从而 12 ( )( )()( )() b a Sf x dxfbaf b baS . 为证 31 SS,令 1 ( ) ( )( )()( ), 2 x a xf xf axaf t dt则( )0,a 11 ( )( )()( ( )( )( ) 22 11 ( )()( ( )( ) 22 11 ( )()( )()()() 22 1 ( )( )(), 2 xfx xaf xf af x fx xaf xf a fx xafxaax fxfxa 拉格朗日中值定理 由于( )0fx,所以( )fx是单调递增的,故( )( )fxf,( )0 x,即( )x在 , a b上 单调递增的.由于( )0,a所以( )0, , xxa b,从而 5 1 ( ) ( )( )()( )0 2 b a bf bf abaf t dt , 即 31 SS.因此, 213 SSS,应选(D). 如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证. 【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数( )f x在积分区间 , a b上连续,则在( , )a b上至 少存在一个点,使下式成立：( )( )()() b a f x dxfba ab .这个公式叫做积分中值 公式. 2. 拉格朗日中值定理：如果函数( )f x满足在闭区间 , a b上连续,在开区间, a b内可导, 那么在, a b内至少有一点()ab,使等式( )( )( )()f bf afba成立. (3)【答案】(A) 【解析】由于函数 sin sin t et是以2为周期的函数,所以, 22 sinsin 0 ( )sinsin x tt x F xetdtetdt , ( )F x的值与x无关.不选 D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关). 估计 2 sin 0 sin t etdt 的值有多种方法. 方法方法 1 1：划分 sin sin t et取值正、负的区间. 22 sinsinsin 00 sinsin 00 sinsin 0 ( )sinsinsin sin( sin ) ()sin ttt tu tt F xetdtetdtetdt etdteu du eetdt 当0t 时,sin0t , sinsin 0, tt ee所以( )0F x .选(A). 方法方法 2 2：用分部积分法. 22 sinsin 00 22 sinsin 00 22 0sin2sin2 00 ( )sincos coscos (1 1)coscos0. tt tt tt F xetdtedt ettde eet dtet dt 故应选(A). 【评注】本题的方法 1 十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一 个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相 同,然后只要估计被积函数的正、负即可. 6 (4)【答案】(D) 【解析】方法方法 1 1：三条直线交于一点的充要条件是方程组 111111 222222 333333 0 0 0 a xb yca xb yc a xb yca xb yc a xb yca xb yc 有唯一解. 将上述方程组写成矩阵形式： 3 2 AXb ,其中 11 22 33 ab Aab ab 是其系数矩阵, 1 2 3 c bc c . 则AXb有唯一解( )2r Ar A b(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等 于未知量的个数),即 A 的列向量组 12 , 线性相关.所以应选(D). 方法方法 2 2：用排除法. (A) 123 , 线性相关,当 123 时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且 小于未知量的个数,则式有无穷多解,根据解的。