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2021年上半年《高中数学学科知识与教学能力》真题注意事项：1.考试时间为120分钟，满分为150分2.请按规定在答题卡上填涂、作答在试卷上作答无效，不予评分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑错选、多选或未选均无分1.下列命题不正确的是（ ）A. 有理数对于乘法运算封闭B. 有理数可以比较大小C. 有理数集是实数集的子集D. 有理数集不是复数集的子集【答案】D【解析】本题考查常见数集之间的关系A选项，一个有理数乘另一个有理数的积仍然是有理数，即有理数对于乘法运算是封闭的所以该命题正确B选项，有理数与数轴上的点是一一对应，任何两个有理数都可以比较大小，结果可以用大于、小于或等于所以该命题正确C选项，实数集包括有理数集和无理数集，而实数集又是复数集的真子集，所以有理数集是实数集的子集，有理数集也是复数集的子集所以该命题正确D选项，该命题错误，见选项C剖析有理数集是实数集的子集，也是复数集的子集故正确答案为D选项2. 设，是非零向量，下列四个命题：（1）垂直于 （2）垂直于 （3）平行于 （4）平行于正确的个数是（ ）。

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】本题考查向量的运算—向量积的知识根据向量积的定义，设向量由向量与按如下方式确定：①向量的模②向量的方向既垂直于向量，又垂直于向量，且其指向符合右手定则则向量叫作向量与的向量积，记作根据向量积的定义，可知题干中（1）（2）正确，（3）（4）错误故本题选择C3.设为开区间上的可导函数，则下列命题正确的是（ ）A. 在上必有最大值B. 在上必一致连续C. 在上必有界D. 在上必连续【答案】D【解析】本题考查可导、连续、微积分之间的关系A、C选项，为开区间上的可导函数，不能确定是否有最大值和最小值，以及有界性如：在 上可导，但它在上没有最大值，也没有最小值，即它不是有界的所以两个选项为错误选项B选项，还是以“在 上可导”为例，正确此函数不是一致连续的分别取序列和，显然，所以对，当时，有取，对，当时有，所以函数在上不是一致连续的故选项B错误D选项，根据微积分的知识，可导的函数必连续，所以在上必连续，该选项正确4.若矩阵与的秩均2，则线性方程组的解的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷【答案】B【解析】本题考查非齐次线性方程组的解的个数。

非齐次线性方程组的解，如果满足，那么该方程组的解是惟一的因此，在本题中，矩阵与的秩均为2，则线性方程组的解是惟一的因此答案为B5.边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其据成64个边长为1的小正方体，将它们混在一起，随机取出1个小正方体，恰有两面为红色的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】本题考查概率的求法恰有两面为红色的小正方体位于棱上，并且处于每条棱的中间位置，因此共有12（4-2）=24个，所以恰有两面为红色的概率为因此答案为A6.在空间直角坐标系中，抛物柱面与平面的交线为（ ）A. 椭圆 B. 两条平行线C. 抛物线 D. 双曲线【答案】B【解析】本题考查空间中的曲面抛物柱面和平面可看作是平面内曲线与直线沿平行Z轴方向平移得到联立两个方程和方程，消去y得到，其中，故在平面内，曲线与直线的交是两个点沿着平行Z轴方向平移这两个点，就得到两条平行的直线，所以抛物柱面和平面的交为平行于Z轴的两条平行线所以该题目选择B选项7.下面不属于“尺规作图三大问题”的是（ ）A. 三等分任意角B. 做一个立方体使之体积等于已知正方体体积的二倍C. 做一个正方形使之面积等于已知圆的面积D. 做一个正方形使之面积等于已知正方形面积的二倍【答案】D【解析】本题考查数学史。

尺规作图三大问题”是指：三等分角、倍立方体、化圆为方因此A,B,C均属于尺规作图三大问题，D不属于，所以正确选项为D8.下列函数属于高中数学必修课程内容的是（ ）A.风险与决策B.平面向量C.数列与差分D.矩阵与变换【答案】B【解析】本题考查数学课程内容A选项，风险与决策是高中数学选修4-9的内容C选项，数列与差分是高中数学选修4-3的内容D选项，矩阵与变换是选修4-2的内容B选项，平面向量是高中数学必修4的内容，因此B为正确选项二、简答题（本题共5道，每题7分，共计35分）9.在什么条件下，存在逆矩阵，并求出其逆矩阵答案】设，若矩阵存在可逆矩阵，则有，故而 矩阵A的行列式，即 逆矩阵为方法一：因为，所以方法二：因此，【解析】本题考查逆矩阵以及逆矩阵的求法10.求二次曲面过点的切平面的法向量答案】设则因此在点的切平面方程的法向量为解析】本题考查切平面法向量的求法11.设是R到R的函数，是函数集合对，令，即D将一个函数变成它的导函数证明D是V到V上既单又满的映射答案】（1）先证明D是V到V上的满射即要证明：对于V中的任意一个函数F(x)，通过D，在V中都能找到一个原像和它对应当C=0时，。

即对，使得.因此D是V到V上的满射2）证明D是V到V上的单射即要证明： ， 在D下的原像是惟一的则在D下的原像为，其中C为任意常数若，则C=0，即是惟一的即在D下的原像是惟一的所以D是V到V上的单射综上所述，D是V到V上既单又满的映射解析】本题考查映射的知识12.简述确定中学数学教学方法的依据参考答案】选择教学方法的总原则是“不愤不启，不悱不发”具体来说，选择教学方法要考虑多方面的因素1）教学方法的选择要考虑本阶段的课程目标；（2）教学方法的选择要考虑教学内容的特点；（3）教学方法的选择要考虑教学条件；（4）教学方法的选择要考虑学生的实际情况；（5）教学方法的选择要考虑教学方法的特点，将各种教学方法有机结合起来解析】本题考查教学方法13.简述你对《普通高中数学课程标准（实验）》中“探索并掌握两点间距离公式”这一目标的理解参考答案】探索并掌握两点间的距离公式有助于学生体会数形结合思想，形成正确的数学观探索两点间的距离公式经历将几何问题代数化的过程，用代数的语言描述几何要素及其关系两点间的距离公式是将几何问题转化为代数问题的重要桥梁和工具利用距离公式分析代数结果的几何含义，也有助于最终解决几何问题。

引导学生经历这样的数形结合的过程，对发展学生的推理能力很有益处解析】本题考查课程内容三、解答题(本大题1小题，10分)14.设是R上的可导函数，且，满足，且，求答案】设，则（）即等号两边同时取积分得：，其中C为任意常数其中C为任意常数又因为，因此C=0解析】本题考查函数与积分的知识四、论述题(本大题1小题，15分)15. 论述在高中数学教学中如何理解与处理好面向全体学生与关注学生个体差异的关系参考答案】教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略。

引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平解析】本题考查教学中需要注意的几种关系五、案例分析题(本大题1小题，20分)阅读案例，并回答问题16.案例教学片段：通过前面的学习，我们已经得到了异面直线的概念，即不在同一个平面内的两条直线叫作异面直线为了进一步理解这一概念，请同学们回答下面问题：如图，在长方体的棱所在直线中，与线段所在直线成异面直线的有几条？对于这个问题，甲乙两位同学举手回答，甲同学回答5条，乙同学回答6条，教师只肯定了乙同学后，就要求学生们做另一组题目问题：（1）针对教师的教学处理，谈谈你的看法；（10分）（2）假如你是这位教师，在教学中应如何处理甲同学这种“找不全”现象？（10分）【参考答案】（2）①甲同学这种“找不全”的现象可能是由于异面直线的概念理解不清，导致找不全教师在日常教学过程中，应多运用这些概念，使学生在认识上获得巩固加深，培养和提高他们运用概念，分析问题和解决问题的能力，形成新认识结构同时，要引导学生善于总结，从一个概念出发，把关联概念、派生概念串连成线，相互对比，既直观形象，又有利于发展学生的创造性思维如本题中，教师可以把两条直线平行、相交、异面三种位置关系相互对照，有利于学生对概念的掌握。

②甲同学这种“找不全”的现象还可能是由于方法不得当，缺少条理性，导致遗漏针对这一问题，用条件结论的改变拓展学生的思维，某个类型的典型题目选择哪一种解法最佳，为什么要选择这种解题方法，要讲充分，方能让学生真正掌握还要注重解题方法的比较、总结这一细节，学生才能进一步认识规律如本题寻找异面直线的问题，可以转化为寻找共面直线，这样就大幅度的降低了本题目的难度，有利于学生对该知识的理解解析】本题考查教学实施与评价六、教学设计题(本大题1小题，30分)17.针对“二项式定理”的教学，教师制定了如下的教学目标：①掌握二项式定理，能用计数原理推导二项式定理；②经历发现二项式定理的过程根据这一教学目标，请完成下列任务：（1）设计一个发现二项式定理教学的引入片段，并说明设计意图；（15分）（2）给出引导学生运用计数原理得到二项式定理的基本步骤15分）【参考答案】（1）利用问题导入的方式设计发现二项式定理的教学片段问题2：桶里有大小相同，质地相同的两小球，有放回地取三次，有几种不同取法？谁能最快写出将展开整理后的多项式，并说出各项系数和？问题3：那么是否也存在这样的规律呢？设计意图：通过这样的引入设计，首先创设情境，取球是同学们极为熟悉的例子，激发了学生的学习兴趣以及求知欲，有利于后续课堂的继续推进，另外在引导的过程中，先从简单的式子入手，再一步步深入，符合学生的认知经验，解决该问题得心应手，能准确、快速地得到答案。

让学生体会从特殊到一般，归纳并证明的过程2）针对问题2：桶里有大小相同，质地相同的两小球，有放回地取三次，有几种不同取法？请分别用分类计数原理、分步计数原理进行分析分步计数原理：分类计数原理：第一类，三次都不取b，种；第二类，任一次取b，其他两次取a，种；第三类，任两次取b，其他一次取a，种；第四类，全都取b，种，即共种设计意图：取三次就相对困难，让学生体会分类记数原理和分步记数原理对于解决多次取球问题的优越性问题4：谁能最快。