数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点 新人教B版必修1.ppt

2.4.1　函数的零点第二章　§2.4　函数与方程学习目标1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1　　知识点　函数零点的概念函数的“零点”是一个点吗？答案答答案案　　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.思考2　　函数一定都有零点吗？答案答案　答案　不是.只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点.1.函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值 ，即 ，则α叫做这个函数的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象 ⇔函数y＝f(x) .梳理梳理等于零f(α)＝0有实数根与x轴有交点有零点3.二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，x2有一个二重零点x1＝x2没有零点题型探究例例1　　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；解答类型一　求函数的零点解　解　存在.因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝(8x＋1)(－x＋1)，所以方程－8x2＋7x＋1＝0有两个实根－ 和1，即函数f(x)＝－8x2＋7x＋1的零点是－ 和1.解方程得x＝－6(x＝2舍去)，解答求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.反思与感悟∴x≠0.令f(x)＝0，即x3－1＝0，∴x＝1，解答解　解　①当a＝0时，令y＝0得x＝－2.解答(2)y＝(ax－1)(x＋2).例例2　　已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，①有两个零点；②有三个零点.类型二　函数零点个数的判断解答解解　　令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数.①若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.②若函数有三个零点，则a＝4.引申探究　引申探究　若f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围.解　解　令f(x)＝0，得a－1＝2|x|－x2.令y1＝a－1，y2＝2|x|－x2.∵f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，∴y1＝a－1，y2＝2|x|－x2的图象有四个不同的交点.画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示.观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.解答判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)利用函数的图象.画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数.(3)转化为两个函数图象交点问题.例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2　　已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数.解解　　令f(x)＝|x2－6x＋8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)＝|(x－3)2－1|.下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当01或a＝0时，原方程实数解的个数为2.解答例例3　　已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围.类型三　函数零点性质的应用解答解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.反思与感悟跟跟踪踪训训练练3　　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.解答解解　　由已知抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得当堂训练1.下列各图象表示的函数中没有零点的是√√答案22334455112.函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是A.(0，±2)；±2 B.(±2,0)；±2C.(0，－2)；－2 D.(－2,0)；2答案√√2233445511解析解解析析　　令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.3.如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则m的取值范围是A.(－2,6)B.[－2,6]C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)D.{－2,6}答案√√2233445511解析解析　解析　由题意，得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即m2－4m－12＞0，由二次函数的图象知m＞6或m＜－2.4.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝___，b＝____.答案2233445511解析解析　解析　∵2，－4是函数f(x)的零点，∴f(2)＝0，f(－4)＝0，2　 －85.若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点是3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________.答案解析解析　解析　∵3是f(x)＝ax－b的一个零点，∴3a－b＝0，即b＝3a.∴g(x)＝bx2＋3ax＝3ax2＋3ax＝3ax(x＋1)，∴g(x)的零点是0，－1.22334455110，－1规律与方法1.函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的零点.2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.本课结束。