两个总体均值差的区间估计课件.ppt

第七章 参数估计第一节 参数的点估计 一、点估计问题设总体X 的分布函数的形式为已知的F (x, )，其中x 是自变量,为未知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）借助于总体X 的一个样本（X1,X2,Xn ），来估计未知参数的值的问题，称为参数的点估计问题点估计的问题就是要构造一个适当的统计量(X1,X2,Xn )，用样本的一组观察值（x1,x2,xn），得到的观察值（x1,x2,xn),以此来估计未知参数称统计量（X1,X2,Xn ）为的估计量，称 （x1,x2,xn）为的估计值二、矩估计法的函数，记作l=l()即，l=1,2,，k设总体 X 的分布函数为 , 其中为k 个未知参数. 假设总体X 的各阶原点矩存在,则E (X l )是对于总体X 的样本（X1,X2,Xn ），样本的l 阶原点矩为，l =1,2,，k令l =Al ,l=1,2,，k，即从上述方程组中解出，分别记作以此作为未知参数的估计量，称为矩估计量如果样本观察值为（x1,x2,xn），则得未知参数的矩估计值为上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法例1设总体X 服从参数为 的泊松分布，其中0为未知，又设X1,X2,Xn为X 的样本，求 的矩估计量解令，即得的矩估计量为例2设总体X 服从参数为的指数分布，其概率密度为其中为未知，又设为X 的样本，求的矩估计量解由于，即因此得到的矩估计量为例3设总体X 在区间a,b上服从均匀分布，a 与b 为未知，X1，X2，Xn是来自总体X 的样本，求a 与b 的矩估计量解令即整理得于是得到a、b 的矩估计量为解此方程组得到与的矩估计量为令即解例4设总体X 的均值为，方差为，且，但与均未知，又设总体X 的一个样本为（X1,X2,Xn），求与的矩估计量解由例4可得例5某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：13.3013.3813.4013.4313.3213.4813.5413.3113.3413.4713.4413.50设铆钉头部直径这一总体X 服从正态分布，试求与的矩估计值注此例说明，无论总体X 服从什么分布，样本均值都是总体均值的矩估计量，样本二阶中心矩就是总体方差的矩估计量三、极大似然估计法1设总体X为离散型随机变量，其分布律为其中为未知参数，取值范围为设X1,X2,Xn为来自 X 的样本，则 X1,X2, ,Xn 的联合分布律为 又设x1,x2,xn为一组样本值，令称L()为样本的似然函数（1）若有，使得对一切，有成立，则称为的极大(或最大)似然估计值，相应的统计量称为的极大(或最大)似然估计量我们规定，使得的就是的极大似然估计值由于ln x是单增函数，所以 与有相同的驻点，因此只需从中解出就是的极大似然估计值，称方程（2）（2）为极大似然方程例6设总体，X1,X2,Xn 为总体X 的样本，求的极大似然估计量解设样本值为x1,x2,xn. 由于X 的分布律为 x=0,1,2,所以似然函数为令得的极大似然估计值为因此得到的极大似然估计量为例7设一批产品中含有次品，次品率p 未知，从中抽取容量为n 的样本，求p 的极大似然估计量.解从总体中任取一件产品进行观测，其结果可用随机变量X 表示如下：则X 服从参数为p 的（0-1）分布，其分布律为设X1,X2,Xn为X 的一个样本，观察值为x1,x2,xn，则似然函数为令解得p 的极大似然估计值为因此p 的极大似然估计量为2设总体X 为连续型随机变量，其概率密度为，,为未知参数设X1,X2,Xn 为来自总体X 的样本，其观察值为x1,x2,xn 则似然函数为（3）似然方程为（4）解出的极大似然估计值为(x1,x2,xn). 极大似然估计量为(X1,X2,Xn)例8设总体X 的概率密度为其中为未知参数，（X1,X2,Xn ）为样本，求的极大似然估计量解设样本值为（x1,x2,xn ）(xi0,i =1,2, ,n)，似然函数为令得的极大似然估计值为于是得到的极大似然估计量为例9设总体X 的概率密度为又设X1,X2,Xn 为X 的样本，求的矩估计量与极大似然估计量解（1）由于令即解得的矩估计量为（2）设样本值为x1,x2,xn (0 xi 1)，似然函数为令解得的极大似然估计值为因此,的极大似然估计量为3设总体X 的分布中含有k 个参数1,2,k,则似然函数是这些未知参数的函数取对数后，求出lnL 关于i 的偏导数并令它等于零，得到似然方程组由此方程组解得i 的极大似然估计值例10设总体，与未知,（X1,X2,Xn )为总体X 的样本，求与的极大似然估计量解X 的概率密度为设x1,x2,xn 为样本值，似然函数为令解得与的极大似然估计值为因此，与的极大似然估计量为例11设总体X 在区间a,b上服从均匀分布，其中a、b未知，X1,X2,Xn为总体X 的样本，求a、b的极大似然估计量解X 的概率密度为设样本值为x1,x2,xn （），似然函数为因为L(a,b)是a 的单增函数，a 越大，L(a,b)就越大，但a 不能大于x(1) = minx1,x2,xn ；又因为L(a,b)是b 的单减函数，b 越小，L(a,b)就越大，但b 不能小于x(n) = maxx1,x2,xn 对于满足a x(1) ,b x(n)的任意a, b 有当a=x(1) ，b=x(n)时,L(a,b)取得最大值所以a, b 的极大似然估计值为a, b 的极大似然估计量为,4极大似然估计的性质设u()是关于未知参数的函数，u()具有单值反函数，又设是总体分布中所含参数的极大似然估计，则是u 的极大似然估计四、估计量的评选标准1无偏性估计量是样本的函数，它是一个随机变量，由不同的方法得到的估计量可能相同也可能不同而对同一估计量，由不同的样本观察值得到参数的估计值也可能不同我们很自然地要求估计量的期望等于参数的真值，即无偏性定义设是未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计（量）例12设（X1,X2,Xn）是来自具有有限均值与方差的总体X 的一个样本证明：样本均值是的无偏估计，样本方差S 2是的无偏估计证因此，与分别为与的无偏估计例13设总体X 的均值为,（X1,X2,X3）是总体X 的样本，证明下列两个估计量都是的无偏估计设与是参数的两个无偏估计量，若，则称比有效.2有效性证由于所以与都是的无编估计（只需k1+k2+kn=1，则=k1X1+k2X2+kn Xn 就是的无偏估计）例14比较例13中与哪个更有效解设由于显见，因此比有效另外，取，则于是可知比更有效设为参数的估计量，若当时，按概率收敛于，即对于任意正数，有，则称为的一致估计（量）3一致性根据大数定律可知，样本均值是总体均值的一致估计量第二节 参数的区间估计点估计是通过构造统计量(X1,X2, ,Xn)来对总体X 中的未知参数进行估计，由一个样本值（x1,x2, ,xn）可得到的估计值（x1,x2, ,xn）这种估计值是无法知道误差的我们要定出一个范围，并要求以一定的概率保证这个范围包含着的真值这个范围通常以区间的形式给出，我们把这个区间称为置信区间定义设总体X 的分布中含有一个未知参数，(X1,X2,Xn）是来自总体X 的一个样本如果对于给定的常数，统计量1= 1(X1,X2,Xn）与2= 2(X1,X2,Xn）满足（1）则称随机区间(1,2)是的置信度为的置信区间，分别称1与2为的置信下限与置信上限例1设总体，为已知，未知,（X1,X2,Xn）为来自总体X 的一个样本，求的置信度为的置信区间解由于是的无偏估计，且有由正态分布表可查得，使1称为置信度或置信水平（1）式的含义是，随机区间(1,2)以的概率包含着，也就是说，对每一个样本值（x1,x2, ,xn）可求得一个具体的区间(1(x1,x2, ,xn),2(x1,x2, ,xn)在这些众多的区间中，包含的有100()%个，不包含的有100%个即有取，于是得到的置信度为的置信区间为求未知参数的置信区间的一般方法：1对于给定的样本X1,X2, , Xn，构造样本函数，它包含待估参数，而不含其它未知参数，并且Z 的分布已知，在Z 的分布中不依赖任何未知参数2对于给定的置信度，定出两个常数a，b（一般地，按Z 所服从的分布的上分位点来确定），使3从a Z (X1,X2, , Xn)b 得到等价的不等式1(X1,X2, , Xn) 2(X1,X2, , Xn)，其中1=1(X1,X2, , Xn)与2=2(X1,X2, , Xn)都是统计量，于是得到的一个置信度为的置信区间（1,2）第三节 正态总体均值与方差的置信区间一、单个正态总体均值的置信区间设 (X1, X2, , Xn)是 来 自 正 态 总 体 的样本1设已知，求的置信度为的置信区间2设未知，求的置信度为的置信区间由于S 2是的无偏估计，因此用S 2代替，有由附表3查得，有即于是得到的置信区间为,图例1 某车间生产的螺杆直径服从正态分布 ,今随机地从中抽取5只测得直径值为22.3，21.5，22.0，21.8，21.4（1）已知，求的0.95置信区间；（2）如果未知，求的0.95置信区间解（1）已知、，查表得，因此的0.95置信区间为（2）未知，,s=0.367查表得=2.7764，因此的0.95置信区间为二、单个正态总体方差的置信区间1设已知,求的置信度为的置信区间由于对于给定置信度，查表可得及，使即因此，的置信区间为2设未知,求的置信度为的置信区间由于对于给定置信度,查表可得及,使得即因此，方差的置信度为的置信区间为而标准差的的置信区间为例2从正态总体中抽取容量为5的样本，其观测值为1.863.221.464.012.64（1）已知，求的0.95置信区间；（2）如果未知，求的0.95置信区间=12.833由已知数据算得，因此的0.95置信区间为解（1）已知，查表得，=11.143，由已知数据算得，因此的0.95置信区间为（2）未知,查表得，三、两个正态总体均值差的置信区间设总体，总体，X与Y 独立,（X1,X2, , Xm）与（Y1,Y2, , Yn）分别来自X 与Y 的相互独立的样本，并设它们的样本均值分别为，样本方差分别为，1设和都已知，求的置信度为的置信区间由于与相互独立，且，于是可知,从而对于给定的置信度，查表得，使，即从而得到的置信度为的置信区间为2设为未知,求的置信度为的置信区间其中例3设总体XN（，4），总体YN（，6），分别独立地从这两个总体中抽取样本，样本容量依次为16和24，样本均值依次为16.9和15.3，求两个总体均值差的置信度为0.95的置信区间解由题设可知m=16，n =24，=16.9，=15.3，=4，=6，=0.95，=0.05，查附表1得1.96从而可得的置信度为0.95的置信区间为例4为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，选20块条件大致相同的地块进行对比试验其中10块地施磷肥，另外10块地不施磷肥，得到单位面积的产量（单位：kg）如下：施磷肥：620570650600630580570600600580不施磷肥：560590560570580570600550570550设施磷肥的地块单位面积产量X N (，)，不施磷肥的地块单位面积产量Y N(，）求的置信度为0.95的置信区间解由题设，两个正态总体的方差相等，但未知,m=10，n=10，=0.05，=0.95，=600，=570，,查表得,因此,的置信度为0.95的置信区间为四、两个正态总体方差比的置信区间1设均已知，求的置信水平为的置信区间由于与相互独立，且从而可知.对于给定的置信度,查表得及，使即因此，的置信度为的置信区间为,.2设与都未知，求的置信水平为的置信区间例5设总体X N（24，),总体Y N (20，).从总体X 和Y 中独立地抽得样本值如下：总体X：23，22，26，24，22，25；总体Y：22，18，19，23，17求的置信度为0.95的置信区间解已知=24,m =6；=20，n =5由已知数据可算得，因=0.95，故=0.05查附表5，可得F0.025(6,5)=。