2019版数学精品资料（人教版）课后提升作业 十椭圆的简单几何性质(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是 ( )A. B.C. D.-【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为 ( )A.+y2=1 B.x2+=1C.+=1 D.+=1【解析】选A.因为=,且c=,所以a=,b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1.3.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为 ( )A.x2+y2=1 B.(x-1)2+y2=4C.x2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.4.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为 ( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以椭圆方程为+=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.5.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 ( )A.-21 B.21C.-或21 D.或21【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k.由==,得k=-;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.【误区警示】认真审题,防止丟解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时,一定要注意椭圆的位置是否确定,若没有确定,则应该有两解.6.(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )【解析】选B.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，右焦点F(c,0)，则直线l的方程为=1，即bx+cy-bc=0，由题意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=7.(2016·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )A.(0,1) B.C. D.【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为·=0,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是 ( )A. B.C. D.【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y), ·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F1F2|h,当P点在y轴上时,h最大,此时最大.因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.(2016·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当·取最小值时|+|的取值为__________.【解析】由已知得a=2,b=,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),则·=(1-x,-y)·(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-x2,代入上式,得·=x2+x+1=(x+2)2.又x∈[-2,2],所以当x=-2时,·取得最小值.所以P(-2,0),求得|+|=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以≥,即e≥.又00,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.【能力挑战题】设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.【解题指南】先设出椭圆的标准方程,根据离心率得到a,b的关系,再设M(x,y)为椭圆上的点,用两点间距离表示出|PM|,最后利用二次函数知识求解椭圆的标准方程.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-b≤y≤b),若0,故矛盾.若b≥,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.【补偿训练】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1,所以||2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.所以||2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.由题意知,当x0=4时,||2最小,所以4m≥4,所以m≥1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.关闭Word文档返回原板块。
