2024年中考数学考前冲刺复习专题10函数的综合应用题型总结.docx

专题10 函数的综合应用题型总结题型解读本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位．一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论．反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等．二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力．二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结．模型01 一次函数的性质与应用一、一次函数的图象与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b（k≠0）k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b（k≠0）k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四一次函数y=kx+b（k≠0）当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图象过一三象限，k<0时图象过二四象限．二、一次函数的应用1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第（2）种方法更简单快捷．模型02 反比例函数的性质与应用一、反比例函数的图象与性质反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，双曲线图象位于第一、三象限位于第二、四象限自变量x的取值范围增减性在其每一象限内，y随x的增大而减小在其每一象限内，y随x的增大而增大中心对称性反比例函数图象是中心对称图形，对称中心为原点轴对称性反比例函数图象是轴对称图形，对称轴为直线二、反比例函数的几何意义：       三、反比例函数的应用：反比例函数的应用考查热点主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明．以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分．模型03 二次函数的图象性质应用（最值问题、交点问题、存在性问题）二次函数的图象与性质，主要总结两种常考的形式，一般式和顶点式；1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．2．二次函数一般式的性质：配方：二次函数a的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性向上（，）时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值．向下（，）时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值．4．二次函数顶点式（）的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴增减性向上（h，k）x=h时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．向下（h，k）x=h时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．模型04 二次函数的实际应用二次函数的实际应用以顶点式（）为主，首先根据题意中的顶点坐标及其它点坐标求二次函数表达式是第一问经常考的题型，二次函数应用题型中有营销问题，球类运动问题，喷泉问题、拱形桥或桥洞问题等．在解题时除了要求学生对二次函数的性质真正的理解，解题中会涉及些计算，需要同学们认真、细致．模型构建模型01 一次函数的性质与应用考｜向｜预｜测一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到．在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解．所考题型难度中等，相对较容易得分．答｜题｜技｜巧第一步：审题．认真读题，分析题中各个量之间的关系；第二步：找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；第三步：列函数．根据各个量之间的关系列出函数；第四步：求解，求出满足题意的数值．例（2023·广东）1．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（　　）A．， B．， C． D．例（2023·新疆）2．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（　　）A． B．C． D．例（2023·江苏）3．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．  (1)请解释图中点的实际意义；(2)求出图中线段所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．模型02 反比例函数的性质与应用考｜向｜预｜测反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容．每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分．从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！答｜题｜技｜巧第一步：根据图象特点求解反比例的表达式；第二步：判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；第三步：求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；第四步：利用相关的性质和判定进行推理和计算．例（2023·江苏）4．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ）A． B． C． D．例（2023·上海）5．如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为 ．模型03 二次函数的图象性质应用考｜向｜预｜测二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例．答｜题｜技｜巧第一步：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；第二步：用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；第三步：结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，第四步：结合其它相关知识解题；例（2023·河南）6．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ）A．开口向上 B．顶点坐标是C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线例（2023·浙江）7．设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例（2023·江苏）8．已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．  (1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；(3)连接，，求的面积．模型04 二次函数的实际应用考｜向｜预｜测二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高．而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等．其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误．答｜题｜技｜巧第一步：理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；第二步：根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；第三步：根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；第四步：利用相关的性质和判定进行推理和计算．例（2024·江苏扬州·一模）9．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．  例（2024·贵州黔东南·一模）10．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．强化训练（2023·四川）11．在平面直角坐标系中，已知，，若把直线向上平移k个单位长度后与线段有交点，则k的取值范围是（    ）A． B． C． D．（2023·南京）12．已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．（2023·贵州）13．在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式可以用完全平方公式进行因式分解，则该反比例函数的表达式为（    ）A． B． C． D．（2023·湖南）14．二次函数的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（    ）A．， B．， C．， D．，（2023·安徽）15．如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（    ）  A．   B．   C．   D．  （2023·辽宁）16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为 ．。