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第一章 绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算1 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：，故具有3位有效数字2 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需，，即3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？（有效数字的计算）解：，，而，故至少具有2位有效数字故至少具有2位有效数字4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知，则误差为 则相对误差为 5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限误差限的计算）解：绝对误差限为相对误差限为6 设的相对误差为,求的相对误差函数误差的计算）解：，7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）解：球体积为 ，欲使，必须 8 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。

计算方法的比较选择）解：如果初始误差为，若是向前递推，有可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了如果是向后递推，其误差为可见，初始误差的绝对值被逐步减少了第二章 插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用1 已知，求的拉氏插值多项式拉格朗日插值）解法一（待定系数法）：设，由插值条件，有解得：解法二（基函数法）：由插值条件，有2 已知，用线性插值求的近似值拉格朗日线性插值）解：由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为的近似值为3 若为互异节点，且有试证明拉格朗日插值基函数的性质）解：考虑辅助函数，其中，，是次数不超过的多项式，在节点（）处，有这表明，有n+1个互异实根故，从而对于任意的均成立4 已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差拉格朗日二次插值）解：由插值条件，其抛物线插值函数为将代入，计算可得：其余项为： 其中，故误差的上界为：5 用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。

拉格朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为绝对误差为：相对误差为：余项为：，其中，其余项的上界为：比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些6 已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差均差的计算）解：采用列表法来计算各阶均差，有xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15从表中可查得：xy一阶均差二阶均差48211072/3346186故其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到7 设求之值，其中，而节点互异均差的计算）解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有而 ，故8 如下函数值表012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式牛顿插值多项式的构造）解：先构造均差表xf(x)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11/4故 9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，插值多项式的构造）解法一（待定系数法）：设，则，由插值条件，有解得：故 解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表xy一阶差商二阶差商三阶差商122422431312852故 10 构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。

解：设，利用插值条件，有解得：11 设1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出2)写出余项的表达式埃尔米特插值及其余项的计算）解：，，，，设，解得：，，，12 若，试证明：（插值余项的应用）解：以为插值条件，作线性插值多项式，有其余项为故 13 设求使；又设 ，则估计余项的大小插值误差的估计）解：由插值条件，有解得：从而 其余项为第三章 函数逼近姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造1 设，求于上的线性最佳平方逼近多项式最佳平方逼近）解：，，，法方程组为解得：，线性最佳平方逼近多项式为：2 令，且设,求使得为于 上的最佳平方逼近多项式最佳平方逼近）解：，，，法方程组为解得：，线性最佳平方逼近多项式为：3证明：切比雪夫多项式序列在区间上带权正交正交多项式的证明）解：对于，有对于，有故，序列在[-1，1]上带权正交4求矛盾方程组：的最小二乘解最小二乘法）解法一：求与，使得达到最小于是，令即：，其最小二乘解为：解法二：，记作，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组，即解之，得。

5 已知一组试验数据22.53455.544.5688.59试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)最小二乘线性逼近）解：作矩阵，法方程为即解得：，其直线拟合函数为6 用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合.19253138 441932.34973.397.8（最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表3616259611444 19361932.34973.397.8作线性拟合其法方程组为：解得：，故经验公式为 第四章 数值积分姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高代数精度的应用和计算）解：分别取，使上述数值积分公式准确成立，有；解得：故求积公式为再取，左边=，右边=再取，左边=，右边=此求积公式的最高代数精度为32 求积公式，试确定系数,及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数代数精度的应用和计算）解：分别取，使求积公式准确成立，有解得：。

求积公式为再取，左边=右边故该求积公式的最高代数精度为23数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）解：令，，，故代数精度为1由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式4如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义梯形求积）解：梯形求积公式是由过点，的线性插值函数在[a,b]上的定积分注意到：在区间[a,b]上，，而，有从而其几何意义可作以下解释：在区间[a,b]上，，故曲线下凹，直线位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积小于梯形面积5用的复化梯形公式计算积分，并估计误差复化梯形求积）解：，取求积节点为因，则误差大约为：6设,则用复化辛甫生公式计算，若有常数使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限复化辛甫生公式）解：7已知高斯求积公式 将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值高斯公式）解：对于作变量换，有对于作变量换，有8 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）解：分别取，使上述数值积分公式准确成立，有；整理得：解得：。

数值求积公式为再取，左边=，右边=再取，左边=，右边=可见，该数值求积公式的最高代数精度为5由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了次，故它是高斯型的9设是[0,1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系（1）求2）构造如下的高斯型求积公式高斯求积）解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权且在[0，1]上正交的多项式序列取，设，且它与在[0，1]上带权正交，于是，故 设，且它与、在[0，1]上带权正交，于是，，解（2）：的零点为：设 分别取，使上述求积公式准确成立，有，即解得：，高斯型求积公式为第五章 非线性方程求根姓名 学号 班级 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论1用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05二分法）解：，，，在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间1）计算，故有根区间为[1，2]2）计算，故有根区间为3）计算，故有根区间为4）计算，故有根区间为5）计算，故有根区间为6）计算，故有根区间为7）计算，故有根区间为8）若取中点作为取根的近似值，其误差小于取近似根，可满足精度要求。

2说明方程 在区间[1，2]内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的迭代法）解： ，，，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根取迭代函数 显然，且故迭代 （）对任意初始值收敛对于初值，其迭代值分别为，，，由于，故作为近似值，已精确到了3位有效数字3设有解方程的迭代法 (1)证明均有（为方程的根）2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论 (3) 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值和收敛性讨论）解(1)：，（），故该迭代对任意初值均收敛于方程的根解(2)：由，故有故该迭代的收敛速度是。