全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题及答案.pdf

2010年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题及答案(本试卷共4页,满分120分,考试时间:3月14日8 :30—10 :30)一、 选择题(本大题满分50分,每小题5分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1.若x为实数,则代数式x- x的值一定是A.正数 B.非正数C.非负数D.负数2.已知( a+b)2= 8, ( a-b)2= 12,则ab的值为A. 1 B.- 1 C. 4 D.- 43.若bk 0,故选C.2.由题意有a2+ 2ab+b2= 8, a2- 2ab+b2= 12,两式相减得4ab= - 4,得ab= - 1,故选B.3.由bk 0, k 0,前者直线经过第一、 二、 四象限,后者直线经过第一、 三、 四象限,因而必经过第一、 四象限,选D.4.由已知条件知乙胜的概率为20% ,又和棋概率为50% ,故乙不输的概率为70% ,选C.5.由20102011- 20102009= 2010x×2009×2011,20102009(2010 - 1) (2010 + 1)= 2010x×2009×2011,则有20102009×2009×2011 =2010x×2009×2011,则有x= 2009,选B.6.两队联合承包每天完成工程的1 a+1 b,完成这项工程需要的时间为1÷(1 a+1 b)=ab a+b天.选C.7.根据题意可知符合条件的点A和点B分别在以点C为圆心的两个同心圆上.故选D.8.由图象可知,直角梯形的高BC= 2,上底CD=3,所以S△BCD=1 2×2×3 = 3,选A.9.分别连结OA、OB ,则OA⊥CA , OB⊥CB ,即可求得,选B.10.由已知条件知 ∠ED F= 45°,由三角形外角性质得 ∠CD F+ 45°=∠B ED+ 45°,∴∠B ED=∠CD F,设CD= 1, CF=x ,则CA=CB= 2,所以D F=FA= 2 -x ,在Rt△CD F中,有x2+ 1 =(2 -x)2,解得x=3 4,所以sin∠B ED= sin∠CD F=CF D F=3 5,选A.二、 填空题11. (1,1 + 3)或(- 1,1 + 3) ;在直角坐标系中,以P(0,1)为顶点,作出 ∠QPO= 150° 可求得.92数学学习2011年第1期12.由2x+ 2 3x- 5= 4解得x=11 5.13.英语、 日语至少会一门的人数为50 - 8 = 42人,设既会英语又会日语的为x人,则只会英语的为(36-x)人;只会日语的为(20 -x)人,于是得(36 -x)+x+(20 -x)= 42,解得x= 14.14.由x2+1 x2= 3,得x2+ 2 +1 x= 5,所以( x+1 x2 = 5,又x1 c>1 b,1 a- 1 >1 c- 1 >1 b- 1,∴M>P>N.16.过D作DG⊥A M ,则有2×3 =1 2A M·DG+AB·BM 2×2, DG= 2.4;17.3;当P在对角线A C与MN的交点处时PC+PD最小.18.1;∵BC B P=A D B P=AQ BQ,∴BC B P-AB BQ=AQ BQ-AB BQ=AQ-AB BQ=BQ BQ= 1.三、 解答题19. (1)四边形ABCD是梯形或菱形,证明如下:①当点P不与点A重合时,∵ △ABC与 △CPD都是等边三角形,∴ ∠A CB=∠DCP= 60°,∴ ∠1 =∠2,又A C=BC, DC=PC,∴ △A DC≌△B PC,∴ ∠DA C=∠B=∠BCA= 60°,∴A D∥BC.又 ∠1 =∠2 < 60°,∴ ∠DCB< 120°,即 ∠B+∠DCB< 180°,∴DC与AB不平行,∴四边形ABCD是梯形.②当点P与点A重合时, PC与A C重合,此时AB=BC=CA=A D=DC,四边形ABCD是菱形,综上所述,四边形ABCD是梯形或菱形.(2)由(1)知 ∠BA D= 120°, A D=B P=x ,过P作DA延长线的垂线PM , M为垂足,则 ∠PA M= 60°,∠A PM= 30°,又B P=x , AB= 1,∴A P= 1 -x ,∴A M=1 2(1-x) , PM=3 2(1 -x)∴y=1 2A D·PM=1 2x·3 2(1 -x)= -3 4( x2-x)= -3 4( x-1 2)2+3 16(0