正弦定理与余弦定理的综合应用.docx

正弦定理与余弦定理的综合应用(本学时相应学生用书第　　页)自主学习　回归教材1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=　　　　.【答案】-【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C==-.2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A=　　　　.【答案】【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，因此a2=7b2，a=b，因此cosA==，因此角A=.3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时达到一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时达到这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为　　　　n mile/h.(第3题)【答案】4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A+csin C-asin C=bsin B，则角B=　　　　.【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，故cos B=，因此B=45°.5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范畴为　　　　.【答案】【解析】由于a，b，c成等比数列，因此b2=ac，因此cos B==≥，由于0，故甲船没有危险.以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长为l=2=2，因此乙船遭遇危险持续时间t==(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续 h后脱险.　解三角形中的不等关系微课9● 典型示例例4　如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M段PQ上.(例4)(1)若OM=，求PM的长；(2)若点N段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.　　【思维导图】【规范解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OM=，OP=2.由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得=，因此OM=，同理ON=，故S△OMN=×OM×ON×sin ∠MON=×==　====.由于0°≤α≤60°，因此30°≤2α+30°≤150°.因此当α=30°时，sin(2α+30°)获得最大值为1，此时△OMN的面积获得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为8-4.● 总结归纳(1)求最值一方面选择合适的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最核心的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.● 题组强化1.若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是　　　　.【答案】【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，因此cos C===≥=，当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立，因此cos C的最小值为.2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则的取值范畴是　　　　.【答案】()【。