福建师范大学21秋《近世代数》在线作业三答案参考48.docx

福建师范大学21秋《近世代数》作业三答案参考1. 求曲线y=cosx在点的切线和法线方程．求曲线y=cosx在点的切线和法线方程．切线方程    法线方程 2. 求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解原方程是关于函数y=y(x)的一阶线性非齐次方程，其中，，由一阶线性非齐次方程的通解公式        及    ，    得原方程的通解为    y=e-lnx(C+lnx)，即    将条件y|x=1=0代入通解，得C=0，故所求的特解为 3. 设f(x＋y，x－y)=x2－xy，试求f(x，y)．设f(x+y，x-y)=x2-xy，试求f(x，y)．4. 长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h和有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小．长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h和有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小．建立如下图所示的坐标系，取x为积分变量，x∈[-l，l]．任取一微元[x，x+dx]，小段与质点的距离为，质点对小段的引力为          铅垂方向的分力元素为    由对称性在水平方向的分力为Fx=0． 5. 甲、乙两车床生产同一种零件．现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为： 甲：15.0，1甲、乙两车床生产同一种零件．现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为：  甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8  乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8  假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高(α=0.05)?6. 用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称______指数。

用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称______指数广义7. 求下列微分方程边值问题的格林函数：求下列微分方程边值问题的格林函数：先求边值问题y"=0，y(0)=1，y'(1)=2的解．方程有基解组y1=1，y2=x．通解为y=c1+c2x．代入边值条件有解y=1+2x．设边值问题y"=f(x)，y(0)=0，y'(1)=0的格林函数为        由齐次方程边值条件得a1(t)=0，b2(t)=0． 利用结果，有            解得b1(t)=-t，a2(t)=-1． 即格林函数为        解为．最后，原非齐次边值问题的解为    $齐次方程的两个线性无关解为，y2=1，令其格林函数为        利用p0(x)=x2有            由边值条件y(1)=αy'(1)得b1(t)+b2(t)=-αb1(t)．又由当x→0时y(x)有界条件知，应取a1(t)=0． 于是有b1(t)=-1，b2(t)=1+α，．格林函数为    $齐次方程是欧拉方程，可令y=xK，代入得K(K-1)+2K=K(K+1)=0，有通解y=c1+c2x-1．用常数变易法，令y=c1(x)+c2(x)x-1，则y'=c'1+c'2x-1-c2x-2，设c'1+c'2x-1=0，于是y'=-c2x-2，y"=-c'2x-2+2c2x-3．将其代入方程得    x2y"+2xy'=-c'2+2c2x-1-2c2x-1=-c'2=f(x)，        而由c'1+c'2x-1=0又有c'1=-c'2x-1=x-1f(x)，．最后得非齐次方程的特解．其通解为．利用边值条件有c2=-c1=．于是有．可定义格林函数        边值问题的解为    ，(1≤x≤3) 8. y=y&39;2ey'．y=y'2ey'．已解出y；不显含x．令y'=p，有y=p2ep及．解为y=p2ey，x=(p+1)ep+c．另外有解y=0．9. 画一个无向简单图，使它满足：画一个无向简单图，使它满足：见下图(a)  $见图(b)$见图(c)$见图(d) 10. 用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。

用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数置换群为    G={I，ρ，ρ2，ρ3，ρ4，τ1，τ2，τ3，τ4，τ5}    G的循环指数为        故由定理可得     11. f和g在点x0连续，若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x) )f和g在点x0连续，若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x) )正确答案： √12. 求出等于下列表达式的一个二项式系数求出等于下列表达式的一个二项式系数  运用Pascal公式，可得                        还可运用组合学方法证明这只要考虑对集合{a1，a2，…，an，b1，b2，b3}的k-组合以如下方式形成：从n个a中取k个a，再从3个b中取0个b；或者从n个a中取k-1个a，再从3个b中取1个b；或者从n个a中取k-2个a，再从3个b中取2个b；或者从n个a中取k-3个a，再从3个b中取3个b因此     13. 试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：由第2式得x=4y+y'，再取导数有x'=4y'+y"．将得到的x，x'代入第1式便得4y'+y"=3(4y+y')-10y，y"+y'-2y=0． 再利用第2式及初值条件知y'(0)=8-4=4． 最后得到等价的微分方程为    y"+y'-2y=0，y(0)=1，y'(0)=4．    上面二阶方程的特征方程为λ2+λ-2=(λ+2)(λ-1)=0，有根λ=-2，1． 方程的通解为y=c1e-2t+c2et．满足初值条件的解为y=-e-2t+2et及x=-2e-2t+10et．$由第1式有，．代入第2式得    -x+tx'+t2x"=-2x+x+tx'．t2x"=0．    等价的微分方程为x"=0． 它有通解x=c1t+c2，．    或由第2式有，．代入第1式可得    ，t2(ty"+2y')=0    等价的微分方程为ty"+2y'=0． 令z=y'，可化为tz'+2z=0，，有．通解为．进而 14. 求方程(x2y2－y)dx＋(2x3y＋x)dy=0的通解．求方程(x2y2-y)dx+(2x3y+x)dy=0的通解．    故得解    x2y2+y=cx 15. 判别下列语句是否为命题．如果是命题，指出其真值．判别下列语句是否为命题．如果是命题，指出其真值．为T$为F$不是命题$不是命题$为F    注：命题的真值可以是T(真)或F(假)，真值并不仅仅是T的意思． 16. 一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。

假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)不同的糕点?如果在每打中每种糕点至少1个，你又能买到多少打不同的糕点?假设面包店每种糕点都有很多(每种至少12个)由于每打中的糕点顺序与购买者无关，故为组合问题，则能买到不同糕点打数即为6种类型的多重集(无穷重数)的12-组合数，其值为        如果每打中每种类型糕点至少出现一次，则12-组合数是力程    x1+x2+…+x6=12  xi≥1  i=1，2，…，6    的整数解个数作变量代换    yi=xi-1  i=1，2，…，6    则方程变为    y1+y2+…+y6=6  yi≥0  i=1，2，…，6    这个方程的非负整数解个数为     17. 若n阶方阵A，B满足AB=A+B，则(A-E)-1=______.若n阶方阵A，B满足AB=A+B，则(A-E)-1=______.B-E.18. 求圆心在(b，0)，半径为a(b＞a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积．求圆心在(b，0)，半径为a(b＞a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积．圆的方程为    (x-b)2+y2=a2    显然，此环状体的体积等于由右半圆周x2=ψ2(y)=b+和左半圆周分别与直线y=-a，y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所产生的旋转体之差，因此所求的环状体的体积                    由几何意义知其值为． 19. 求两条相交直线，的交角的平分线方程。

求两条相交直线，的交角的平分线方程与20. 设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=______．设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=______．221. 某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元设该药品均匀投入市场(即平均某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元设该药品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半)，并设每年每单位的药品库存费为c元显然，生产批量大则库存费高，生产批量小则生产准备费多问如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小(不考虑生产能力)?设药厂分x批进行生产该药品，则批量为，生产准备费与库存费之和为    令y'=0，得    当时，y达到最小    即当批量为时，准备费与库存费之和为最小 22. 验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx： (1)u＝sin(kx)sin(akt)； (2)u＝ln(x＋at)； (3)u＝sin(x－at验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx： (1)u＝sin(kx)sin(akt)； (2)u＝ln(x＋at)； (3)u＝sin(x－at)．正确答案：(1)ux＝kcos(kx)sin(akt) uxx＝－k2sin(kx)sin(akt) ut＝aksin(kx)cos(akt)\r\nutt＝－a2k2sin(kx)sin(akt)\r\n综上utt＝a2uxx成立；\r\n\r\n综上utt＝a2uuxx成立；\r\n(3)ux＝cos(x－at)uxx＝－asin(x－at) ut＝－acos(x－at) utt＝a2sin(x－at)\r\n综上utt＝a2uxx成立．(1)ux＝kcos(kx)sin(akt)uxx＝－k2sin(kx)sin(akt)ut＝aksin(kx)cos(akt)utt＝－a2k2sin(kx)sin(akt)综上,utt＝a2uxx成立；综上,utt＝a2uuxx成立；(3)ux＝cos(x－at)uxx＝－asin(x－at)ut＝－acos(x－at)utt＝a2sin(x－at)综上,utt＝a2uxx成立．23. 盒子中有10个球，其中8个白球和2个红球，由10个人依次取球不放回，求第。