第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质(2).docx

第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的 . 它在数学的许多分支中都有 着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程 组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具§1.1 n 阶行列式定义和性质一、 二、三阶行列式定义的引出1. 二阶行列式例 1：二阶线性方程组a x + a x = b11 1 12 2 1a x + a x = b21 1 22 2 2且 a a - a a 丰 0 .11 22 12 211 a a — a a2a a — a a11 2212 2111 22 12 21aaba取 D = 1112= a a —a a ，D=112=ba —a b ，aa11 22 12 211ba1 22 12 22122222b a - a b a b -b a解：利用加减消兀可求得x = 1 22 12 2 , x = 11 2 1 21 .a11a21b1 = a b - b ab 11 2 1 212Dx = 1,1D2D定义1二阶行列式由22个数排成2行2列所组成下面的式子(或符号)a a11 12 = a a - a aa a 11 22 12 2121 22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数a..称为行列式的元素，它的 ij第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列•位于第i行第j列的元素称为行列式的(i, j)元。

2阶行列式由22个数组成，两行两列;展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!= 2项，且正负项的各数相同应用：解线性方程12 x + 3x = 8 例2：解万程组(1 2 .I x — 2 x = —31 2° 2 3 8 3解 D = = 2 x (—2) — 3 x 1 = —7, D = = 8 x (—2) — 3 x (—3) = —7,1 — 2 1 — 3 — 2D2=2 x (—3) — 8 x 1 =-14.因D = —7工0,故所给方程组有唯一解2. 三阶行列式定义2由32个数排成3行3 列所组成下面的式子（符号）aaa111213aaa212223aaa313233=aiia22a33 + ai2a23°31 + 勺3°,32 一 勺3°22°31 一 叩23°32—a12a21a33称为三阶行列式3 阶行列式由32个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式； 若是多项式则必有3!= 6项，且正负项的各数相同其运算的规律性可用“对角线法则”或 “沙路法则”来表述之应用：解三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组ax+ a x+ a x=b11 112 213 31

注意：n阶行列式iDl是一个算式（多项式）当n = 1 时,1D1 -町| - aj当 n > 2 时，|D | = |D = a A + a A H b a A = £ a An其中，A = (—1)1+jM1j11 11 12 12 r1j1n 1n 1 j 1 jj=1a … aa … a21 2, j—12, j+1 2 na -aa -aM =i ,1i , j —1i, j+1i,n1 ja -… a a…ai+1,1i +1, j —1i +1, j +1i +1, na… aa•…an1n, j —1n, j+1nn并称M为元素a的余子式，A为元素a的代数余子式；其中，求和式中共有n!项.2•几个特殊行列式 1 j 1 j上二角行列式，下二角行列式和对角行列式aa…aa … a a11121n11 1,n—1 1na…aa … aD =222 nD = 21 2,n—11••2 • .Jaann,n1a0…0110a…0D =223 -••00…a例5计算nnaa…a11121na…aD =122・.2 nann解：利用数学归纳法可以证明D=aa…a11122nn结论：以主对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．例 6 证明00 …0a1n00 … a2,n—1* 4n( n—1)D —:: ・.- (—1) 2:—' 丿 a a …an1n 2,n —10a …**n—1,2a* ・・・**n1证明：利用行列式的定义D — (—1)1+n an 1n00•••…0… a3,n — 2♦ ♦・ ♦・ •a2,n—1*•••—(—1)1+n aD — (— 1) n-1 Dn—1 n—1a…**n1反复利用行列式的定义，可得D = (—1) n-i a D — (—1) n-i a (—1) n -2 a Dn 1n n —1 1n 2,n—1 n—2—(—1)(n—1)+(n—2)+…+2+1 a a •-a a1n 2,n—1 n—1,2 n1n (n—1)2a a … a1n 2,n —1 n1结论：以副对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠以符号 （—1）特例：尢1尢2—尢尢…尢1 2 n九n，n (n—1)—(—1) 2 尢尢…尢1 2 n3. 全排列和逆序数定义4把n个不同的元素排成一列组成的一个有序数组称为这n不同数的一个全排列（简称排列）.显然，由1,2,…,n组成的12…n是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺 序排起来的，称自然排列。

标准排列：对n个不同的自然数从小到大构成。