天津市南开区高三下学期数学三模试卷（解析版）.pdf

高三下学期数学三模试卷 高三下学期数学三模试卷一、单选题一、单选题1设全集为=1，2，3，4，5，6，=2，3，5，=2，5，6，则 ()=（）A1，4B2，5C6D1，3，4，6【答案】A【知识点】交集及其运算；补集及其运算【解析】【解答】解：因为全集为=1，2，3，4，5，6，=2，3，5，所以=1，4，6，又=2，5，6，所以=1，3，4，所以 ()=1，4，故答案为：A【分析】根据已知条件，先求出 A 集合，再结合补集、交集的运算法则，即可求解出答案.2已知命题：2 2+3和命题：|1|2，则 p 是 q 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；绝对值不等式的解法【解析】【解答】命题：2 2+3即1 3命题：|1|2即1 3，所以，p 是 q 的充分不必要条件故答案为：A【分析】求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义判断，即可得到答案.3为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在9，11)的学生人数为 25，则的值为（）A40B50C60D70【答案】B【知识点】频率分布直方图【解析】【解答】解：依题意，得12 (0.05+0.05+0.15)=25，解得=50，故答案为：B【分析】由学生可接受的学习时长频率分布直方图，求出学习时长在9，11)的频率为 0.5，再由学习时长在9，11)的学生人数为 25，即可求出 n 的值.4函数=ln2+2，(2，2)的图象大致为（）ABCD【答案】D【知识点】函数的图象【解析】【解答】由题意，函数=ln2+2，当 (1，0)时，可得2(0，1)，所以ln2 0，所以 0，可排除 A、B、C.故答案为：D.【分析】当 (1，0)时，可得2(0，1)，根据函数值的符号进行判断，可得答案。

5已知函数()是定义在上的偶函数，且()在0，+)单调递增，记=(log132)，=(2.30.3)，=(log210)，则 a，b，c 的大小关系为（）A B C D 【答案】A【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为函数()是定义在上的偶函数，所以=(log132)=(log32)，又因为0 log32 1，1 2.30.3 3，且()在0，+)单调递增，所以(log32)(2.30.3)(log210)，即 0)的图象向左平移3个单位，得到函数=()的图象，若函数()在区间0，4上单调递增，则的值可能为（）A73B13C3D4【答案】B【知识点】三角函数的周期性及其求法；函数 y=Asin（x+）的图象变换【解析】【解答】解：将函数()=2sin(3)(0)的图象向左平移3个单位，得到函数()=2sin(0)，因为 0，4，所以 0，4，又因为函数()在区间0，4上单调递增，所以42，解得，2所以的值可能为13，故答案为：B【分析】由题意利用三角函数的图象变换得到函数 y=g(x)的表达式，然后利用函数()在区间0，4上单调递增，得42，利用周期公式，求出的不等式，得到的范围，即可求出 的值.7已知双曲线：2222=1(0，0)的左顶点与抛物线2=2(0)的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1，2)，则双曲线的焦距为（）A6 5B3 5C6 3D3 3【答案】A【知识点】抛物线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1，2)所以2=1=2，=21=2又因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为 4，所以2()=1+=4=3所以=6，2=2 2+2=6 5故答案为：A.【分析】根据题意，点(-1，-2)在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得 p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得 a 的值，由点(-1，-2)在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得 b 的值，由双曲线的性质，可得 c 的值，进而可得答案.8已知三棱锥中，侧面 ABC底面 BCD，ABC 是边长为 6 的正三角形，BCD 是直角三角形，且=2，=4，则此三棱锥外接球的表面积为（）A36B48C64D128【答案】C【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积【解析】【解答】三棱锥中，侧面 底面，把该三棱锥放入长方体中，如图所示=32=3 3，设三棱锥外接球的球心为，则=23=23 3 3=2 3，=12=2，三棱锥外接球的半径=2+2=22+(2 3)2=4，则三棱锥外接球的表面积为=42=4 42=64，故答案为：C【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的表面积.9设函数()=|21|，函数()=()log(+1)，(0，1)在0，1上有 3 个不同的零点，则实数的取值范围为（）A(1，32)B（1，2）C(32，2)D(2，+)【答案】C【知识点】函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】()=|21|=21，122+1，344+3，12 3441，14 0，0，+=1，则1+3+12+的最小值为 【答案】2 2+35【知识点】基本不等式【解析】【解答】由+=1可得(+3)+(4+2)=5，所以1+3+12+=1+3+24+2=15(1+3+24+2)(+3)+(4+2)=154+2+3+2(+3)4+2+3 2 2+35，当且仅当4+2+3=2(+3)4+2时等号成立，所以1+3+12+的最小值为2 2+35.故答案为：2 2+35.【分析】直接利用基本不等式的应用和关系式的变换的应用求出答案.14为了抗击新冠肺炎疫情，现在从 A 医院 200 人和 B 医院 100 人中，按分层抽样的方法，选出 6 人加入“援鄂医疗队”，再从此 6 人中选出两人作为联络员，则这两名联络员中 B 医院至少有一人的概率是 .设两名联络员中 B 医院的人数为，则随机变量的数学期望为 .【答案】35；23【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】因为采用分层抽样的方式，所以自 A 医院的人数为：6 200200+100=4，来自 B 医院的人数为：6 100200+100=2.空一：两名联络员中没有来自 B 医院的概率是2426=25，所以这两名联络员中 B 医院至少有一人的概率是125=35；空二：由题意可知：=0，1，2，(=0)=2426=25，(=1)=14 1226=815，(=2)=2226=115，所以()=0 25+1 815+2 115=23，故答案为：35；23【分析】根据对立事件的概率公式，并结合期望公式，即可求解出答案.15在等腰梯形中，已知/，=4，=2，=60，动点 E 和 F 分别段和上，且=，=19，当=时，则 有最小值为 【答案】23；589【知识点】基本不等式；向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】因为在等腰梯形中，已知/，=4，=2，=60，可知=2，所以 =4 2 12=4，=2 4=8，=2 2 12=2，=2 2 (12)=2，则 =(+)(+)=(+)(+19)+19 +19 =4+89+229349+289 2=349+2 43=589.当且仅当89=2，即=23时取等号，即最小值589故答案为：23；589.【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求出 的最小值.三、解答题三、解答题16已知 中，角，的对边分别为，=1，=2，=3.（1）求：（2）求(2)；（3）求的长.【答案】（1）解：=1，0 ，=4，由正弦定理sin=sin可得，sin=sin=2 223=13（2）解：sin=13且 ，=4，cos=1sin2=119=2 23，cos2=2cos21=79，sin2=2sincos=4 29，(2)=cos2cos+sin2sin=7922+4 2922=8+7 218（3）解：sin=sin()=sin(4+)=22(cos+sin)=221+2 23=4+26，由正弦定理，sin=sin可得=sinsin=3 4+2622=2 2+1【知识点】正弦定理【解析】【分析】(1)由 tanB=1，结合范围 B(0，)，可得 =4，由正弦定理可得 sinA 的值；(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosA 的值，利用二倍角公式可求 sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的余弦公式即可求解(2)的值；(3)由题意利用两角和的正弦公式可求 sinC 的值，进而根据正弦定理可求 c 的值.17如图，在四棱锥中，底面是边长为 4 的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O 分别是 PC，PD，BC，AD 的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）线段 PA 上是否存在点 M，使得直线 GM 与平面所成角为6，若存在，求线段 PM 的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：因为 是正三角形，O 是 AD 的中点，所以 .又因为 平面，平面，所以 .=，AD，平面，所以 面（2）解：如图，以 O 点为原点分别以 OAOGOP 所在直线为 x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系.则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(2，4，0)，(2，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2 3)，(1，2，3)，(1，0，3)，=(0，2，0)，=(1，2，3)设平面的法向量为=(，)，所以 =0 =0，即2=0+2 3=0，令=1，则=(3，0，1)，又平面的法向量=(0，0，1)，所以|cos，|=|=1(3)2+12 1=12.所以平面与平面所成角为3.（3）解：假设线段 PA 上存在点 M，使得直线 GM 与平面所成角为6，则直线 GM 与平面法向量所成的夹角为3，设=，0，1，=(2，0，2 3)，(2，0，2 32 3)，所以=(2，4，2 3(1)，所以cos3=|cos，|=32 426+7，整理得223+2=0，0)，由离心率为32，得=32，又因为2=2+2，所以2=42由(2，1)在椭圆上可得42+12=1，解得2=2，2=8所以椭圆的方程为28+22=1（2）证明：当直线与 x 轴垂直时，设(，)(1)，则(，)由题意得：12+12=1，即=0所以直线的方程为=0当直线不与 x 轴垂直时，可设直线为=+，(1，1)，(2，2)，将=+代入28+22=1得(1+42)2+8+428=0，所以1+2=81+42，1 2=4281+42由已知可得1112+2122=1，将1=1+和2=2+代入，并整理得(21)12+(2+1)(1+2)4=0，将1+2=81+42，1 2=4281+42代入，并整理得2+(2+1)+42=0，可得(2+1)(+2)=0，因为直线：=+不经过点(2，1)，所以2+1 0，故=2所以直线的方程为=2，经过定点(0，2)综上所述，直线经过定点(0，2)【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)设椭圆22+22=1(0)，由离心率为 32，得=32，jiec 再根据点 M(2，1)在椭圆上求解出 2，2，即可得出椭圆的方程；(2)当直线与 x 轴垂直时，设(，)(1)，则(，)，由直线 MA 与 MB 的斜率之和为 1 求解出 直线的方程；当直线不与 x 轴垂直时，可设直线为=+，(1，1)，(2，2)，与椭圆方程联立，易知 1112+2122=1，然后结合韦达定理求解出直线的方程，可得直线经过定点.19已知数列是公比 1的等比数列，前三项和为 13，且1，2+2，3恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项（1）求和的通项公式；（2）已知 ，数列满足=1+2，=21，=2，求数列的前 2n 项和2；（3）设=(810)1(2+1)(2+2+1)，求数列的前 n 项和【。