自主学习01 教材内容 笫十章 电磁场中的带电粒子.doc

自主学习 01 教材内容笫十章 电磁场中的带电粒子知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节本章习题 本章自测 知识框架[教学目标]掌握电磁场中电子的薛定谔方程, 并能就应用于解释一些基本的实验现象如量子霍尔效应、阿哈罗诺夫—玻姆（AB）效应、超导现象等电磁场场中的带电粒子带电粒子与电磁场的耦合阿哈罗诺夫—玻姆（AB）效应超导现象朗道能级与量子霍尔效应电子在均匀磁场中的运动—朗道能级电子在正交均匀磁场和电场中的二维运动—朗道能带霍尔效应及量子霍尔效应基本实验事实唯象描述对超导现象的解释规范不变性定域的几率守恒与流密度[重点难点] 掌握电磁场中电子的薛定谔方程,电磁场的规范不变性10.1 带电粒子与电磁场的耦合[本节要求]本节使学生掌握带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，并讨论了两类动量的关系[重点难点]明确理解带电粒子在电磁场中的薛定谔方程，在规范变化下，定域几率守恒，几率流密度守恒的不变性[本节内容]考虑质量为 m,荷电 q 的粒子在电磁场中的运动.在经典力学中,其拉格朗日（Lagrangian）量为 AvqmL21(1)把式(1)代入拉氏方程 0vLdtr(2)可得牛顿方程 )(Bvqrm(3)式中电场强度 和磁感应强度 B为 ABt,(4)粒子的正则动量定义为 AqvmLP(5)哈密顿量为 qAPmqvLPvH22)(11(6)注意在这种情况下,正则动量 P不同于机械动量 vmpˆ,二者之间的关系为 AqpP.有了哈密顿量后,可把力学运动方程表为正则方程rPr,(7)反过来,由此正则方程(7), 也可得牛顿方程(3).按照量子力学的正则量子化程序,把正则动量 P换成算符 ˆ,即iPˆ(8)则电磁场中荷电 q 的粒子的哈密顿算符表示为qAPm2)ˆ(1ˆ(9)因而电磁场中荷电粒子的薛定谔方程为   qAmPmqPAti 22)ˆˆ(1)ˆ( (10)注意一般而言, Pˆ与 A不对易,这是因为对任态波函数 ,有)()ˆˆ(AiiPA即有 AiP,ˆ(11)因而在薛定谔方程(9)中不能随意地将 Pˆ与 A交换次序. 方程(10) 中出现 PAˆˆ项, 而不是PAˆ2或 ,因为前者是所谓的 Wely 顺序, 它是厄米的, 而后者是非厄米的.1. 规范不变性电磁场的规范不变性是指,如 A,作下列规范变换 ),(trxA(12)电场强度 和磁感应强度 B都不改变.在这种规范变换下经典牛顿方程中只出现 和 B,因而其规范不变性是显然的.下面可证,尽管在薛定谔方程中出现 A和 ,但仍然具有规范不变性.假设用 ˆ表示 A和 势的哈密顿算符 ,则相应的薛定谔方程成为 ˆti(13)若 与 只相差一个相因子,则规范变换并不改变物理量,因为在物理量的计算中,只有形如 的积分或者矩阵元 Aˆ出现,位相因子相消,并不在其中出现.可以证明 ,设定)exp(qi(14)并将其代入 ˆ的薛定谔方程 ,可以得出 ˆ的薛定谔方程.换言之,即使规范变换之后, ˆ的薛定谔方程的解仍然描述同样的物理状态, 与 只相差一个唯一的相因子)exp(qi,而物理观察量不受此相因子的影响.容易证明,并非正则动量 iPˆ,而是真正的运动动量 AqPpˆ才是可测量的量.这是因为Pˆ的平均值不是规范不变的,而 p的平均值才是规范不变的.因此 ,在电磁场存在时,是将正则动量 Pˆ换成算符 i，而不是换真正的动量 ˆ，这是确保规范不变性的唯一作法.2. 定域的几率守恒与流密度取式(10) 的复共扼, 注意 , A为实函数, 而 Pˆ,得    qAmmqti 22)ˆˆ(1(15)150,得　   AqPmi mPPqti   2ˆ2ˆˆ1 ˆˆ22即 0jt(16)式中AqPmj 2ˆ21(17)令AqPmvˆ1(18)式(17) 中 j可进一步化为vAqPqmjˆRe21ˆˆ(19)这里 vˆ可理解为粒子的速度算符, 而 j为几率流密度.[思考题]1. 证明在规范变换下,正则动量算符 Pˆ不变, 但其平均值随规范而异, 而机械动量算符 pˆ正好相反.2. 证明在规范变换下,几率密度 和几率流密度 jAmqPmj ˆ21都不变. 3.证明:(a) zyxBmqiv ,,,ˆ,2即Bmqiv2ˆ;(b) vBmqivˆˆˆ,2;(c) 在只有磁场的情况下, 哈密顿算符可写成2ˆ1vmH,且vBqvdtˆˆ21.10.2 朗道能级与量子霍尔效应[本节要求]本节使学生掌握电子在均匀磁场作用下运动的规律，导体或半导体产生霍尔效应及量子霍尔效应的概况。

[重点难点]了解朗道能级的引入和朗道能级简并度的讨论[本节内容]10.2.1. 电子在均匀磁场中的运动—朗道能级考虑质量 、荷电-e 的电子在垂直于均匀磁场 B的平面内运动.选择 z 轴沿均匀磁场方向,即B,0.显然,由 A不能唯一地决定矢量势 A.对目前的计算 ,很方便的一种可能的表示为 rBxy210,2(1)荷电粒子的哈密顿算符为 zLLyx zylxPPeeHˆ21ˆ21ˆˆ 2(2)式中 iyxleBxzLˆˆ,(3)L称为拉莫尔频率, LB的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的作用,而 2LB项为反磁项.由于粒子沿 z 轴方向自由运动, 因此采用柱坐标系 z,,Hˆ的本征方程为 ,,21ElzL(4)式中2是二维拉普拉斯算符2211(5)粒子的能量本征态可取为守恒量完全集 zlHˆ,的共同本征态,即 imeR, ,210 (6)代入方程(4),可求出径向方程  RmERd LL 22211(7)令 , L,LL(8)则上式化为 01222 Rmd(9)显然, ,0为方程的奇点,其中 0是方程的二阶正则极点.首先求奇点邻域方程(9)的渐近解.当 时,方程(9) 的渐近形式为 0122Rmd(10)令sR,代入上式,得 02s从而 m(11)渐近解mR是物理上不允许的,应抛弃.只有与 s相应的渐近解mR才是物理上允许的.当时,方程(9) 的渐近形式为 02Rd(12)其解为 2expR,其中满足束缚态边界条件的解只能是 2exp.这样,让方程(9) 的解具有形式ueRm21 (13)代入方程(9) ,得 012212 uddu(14)再令 2(15)得 042112 umdudu(16)这正是合流超几何方程.相应的参数为 42, 1 (17)要求 nm1, ,20 (18)将式(9) 代入上式,得  ,210,42,02nnELn(19)忽略 z 方向运动( 0Zp)之后, 能量 是量子化的.相应的能量本征函数为 immnmn enFeNz 221,1, (20)式中 mnN为归一化系数. !2!1nmn(21)容易看出, 所有 0的态所对应的能量都相同, 因而能级简并度为 . 朗道能级的简并度还与规范选择无关.下面考察朗道规范 0,zyxABA(22)此规范与式(1) 相比, 相当于作了一规范变换, 即 Bxyr21,21(23)在此规范下,电子的哈密顿算符为 2ˆˆˆyxPeH(24)Hˆ的本征函数是 zxPˆ,的共同本征态xipeyzx, (25)其中 y满足 yEdyeBpx 221(26)令 Lcxeey,0(27)式(26) 可化为 yEyyc2021(28)上式描述的是一个平衡点在 0y点的一维谐振子, 其本征值为 ,420,121nnnELc与式(19) 一致, 相应本征函数为 eBpyHeNzyxxLzpxinnn 0,2,200(29)它依赖于 n 和 0y, 可以取 ,中一切实数值, 但能级 znE不依赖于 0y,因而能级为无穷度简并. 当然, 这是电子只受磁场作用, 而无其它限制的情况. 如果电子局限在 xy 平面上有限区域面积 S 中运动, 其能级的简并度又如何呢? 不妨假设电子在 x 方向被限制在 2,a的范围内运动, 则 xpˆ的本征值不再是连续的, 而是取分立值 ,.1,0,2napx(30)平衡位置 0y也取分立值 ,210,20neBy(31)两相邻平衡位置的间距为 a0(32)若电子在 y 方向被限制在 2,b的范围内运动, 由于边界条件改变了, 能量的本征值与本征函数也将发生改变, 但对 y 方向的长度eBb1 (33)这里 1y是经典振子的运动范围 , 可由振子总能量等于势能的条件得出, 那些 0y离边界有 n 个的运动状态, 可以忽略边界的影响 , 仍采用式(29) 和(30) 作为近似解. 此时 y 有界必导致 只能取有限个数值, 其个数可近似为 20eBSabyf(34)式中 S=ab 为 xy 平面上电子运动范围的面积. 可取值的个数, 就是能级 nE的简并度.10.2.2 电子在正交均匀磁场和电场中的二维运动—朗道能带现讨论荷电粒子在均匀电场 yeE及均匀磁场 zeB作用下的二维运动. 令坐标原点处的标势 0,则标势 和矢势 A可选取为 xeyA,(35)体系的哈密顿算符为 EPBHyx2ˆˆ21ˆ(36)Hˆ的本征函数可取为守恒量完全集 xP,的共同本征态, 即 xiPey(37)将上式代入式(37) 的本征方程, 可得 yyPLy 2021ˆ(38)式中 220,BEPeBEyxx (39)方程(38) 与式(28) 形式上完全相同, 只不过谐振子的平衡位置从 0y变成了 0.能量本征值为21nPExLxn (40)相应能量本征函数为 020, 。