2013年考研数学线性代数复习要点 同济大学第五版.doc

20132013 年线性代数复习要点年线性代数复习要点 同济大学第五版同济大学第五版 免费免费概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确( ),nTA r An A A AxxAxAAx A A AE    可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R R12 ,siAp pppnBABEABE            是初等阵存在阶矩阵使得 或 ：全体：全体维实向量构成的集合维实向量构成的集合叫做叫做维向量空间维向量空间. .○○注注nnR Rn( )A r An AAA AxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解, 其基础解系即为关于0的     特征向量○○注注() ()a br aEbAn aEbAaEbA x   有非零解 =-     :;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√√ 关于关于：：12,,,ne ee①①称为称为的标准基，的标准基，中的自然基，单位坐标向量中的自然基，单位坐标向量；；n¡n¡87p教材②②线性无关；线性无关；12,,,ne ee③③；；12,,,1ne ee④④；；tr =E n⑤⑤任意一个任意一个维向量都可以用维向量都可以用线性表示线性表示. .n12,,,ne ee行列式的定义行列式的定义 1 2121 21112121222() 1212()nnnnnj jj njjnj j jjnnnnaaaaaaDa aaaaaLLLLLMMML1√√ 行列式的计算：行列式的计算：①①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. .推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. .②②若若都是方阵（不必同阶）都是方阵（不必同阶）, ,则则（拉普拉斯展开式）（拉普拉斯展开式）AB与==()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1③③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. .④④关于副对角线：关于副对角线： （即：所有取自不同行（即：所有取自不同行(1) 2112121 12111()n nnnnn nnnnnaOa aaa aaaOaO KNN1不同列的不同列的个元素的乘积的代数和）个元素的乘积的代数和）n⑤⑤范德蒙德行列式：范德蒙德行列式：12 222 12 1111 12nijn j i nnnn nxxx xxxxxxxx  L L L MMM L111矩阵的定义矩阵的定义 由由个数排成的个数排成的行行列的表列的表称为称为矩阵矩阵. .记作：记作：或或m nmn111212122212nnmmmnaaa aaaAaaa   L L MMM Lm n ijm nAam nA伴随矩阵伴随矩阵 ，，为为中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式. . 1121112222*12nTn ijnnnnAAA AAAAAAAA   L L MMM LijAA√√ 逆矩阵的求法逆矩阵的求法: :①① ：： 1AAA ○○注注1abdb cdcaadbc1L L主换位 副变号②②1()()A EE A MM初等行变换③③ 12311 11 213aaaa a a 32111 11 213aaaa a a √√ 方阵的幂的性质：方阵的幂的性质： mnm nA AA()( )mnmnAA√√ 设设的列向量为的列向量为, ,的列向量为的列向量为，，,,m nn sABA12,,,n B12,,,s 则则 ，，为为m sABC1112121222 121212,,,,,,ss nsnnnsbbbbbbc ccbbb    LLLMMMLiiAc(,, )isL1, 2i的解的解可由可由线性表线性表iAxc  121212,,,,,,,,,sssAAAAc cc L12,,,sc ccL12,,,n 示示. .即：即：的列向量能由的列向量能由的列向量线性表示，的列向量线性表示，为系数矩阵为系数矩阵. .CAB同理：同理：的行向量能由的行向量能由的行向量线性表示，的行向量线性表示，为系数矩阵为系数矩阵. .CBTA即：即： 1112111212222212nnnnmnnmaaac aaacaaac    L L MMMMM L11112212121122222211222nnmmmnmaaac aaacaaac    L L LLL L√√ 用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵乘一个矩阵, ,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；向量；○○左左○○行行用对角矩阵用对角矩阵乘一个矩阵乘一个矩阵, ,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量向量. .○○右右○○列列√√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. .√√ 分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵：分块矩阵的逆矩阵： 111AA BB111AB BA1111ACAA CB OBOB1111AOAO CBB CAB分块对角阵相乘：分块对角阵相乘：, ,11112222,ABABAB11112222A BABA B1122n n nAAA分块对角阵的伴随矩阵：分块对角阵的伴随矩阵： ***ABABAB*( 1) ( 1)mnmnAA B BB A√√ 矩阵方程的解法矩阵方程的解法( () )：设法化成：设法化成 0A AXBXAB(I ) 或 (I I )A BE X MM初等行变换(I )的解法：构造()()TTTTA XBXX(I I )的解法：将等式两边转置化为，用(I )的方法求出，再转置得①① 零向量是任何向量的线性组合零向量是任何向量的线性组合, ,零向量与任何同维实向量正交零向量与任何同维实向量正交. .②② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. .③③ 部分相关部分相关, ,整体必相关；整体无关整体必相关；整体无关, ,部分必无关部分必无关. . （向量个数变动）（向量个数变动）④④ 原向量组无关原向量组无关, ,接长向量组无关；接长向量组相关接长向量组无关；接长向量组相关, ,原向量组相关原向量组相关. . （向量维数变动）（向量维数变动）⑤⑤ 两个向量线性相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. .114p教材⑥⑥ 向量组向量组中任一向量中任一向量≤≤ ≤≤都是此向量组的线性组合都是此向量组的线性组合. .12,,,n i(1i)n⑦⑦ 向量组向量组线性相关线性相关向量组中至少有一个向量可由其余向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示个向量线性表示. .12,,,n n1向量组向量组线性无关线性无关向量组中每一个向量向量组中每一个向量都不能由其余都不能由其余个向量线性表示个向量线性表示. .12,,,n in1⑧⑧维列向量组维列向量组线性相关线性相关；；m12,,,n ( )r An维列向量组维列向量组线性无关线性无关. .m12,,,n ( )r An⑨⑨ 若若线性无关，而线性无关，而线性相关线性相关, ,则则可由可由线性表示线性表示, ,且表示法唯一且表示法唯一. .12,,,n 12,,,,n 12,,,n ⑩⑩ 矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩矩阵的秩. . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. .行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线0后面的第一个元素非零后面的第一个元素非零. .当非零行的第一个非零元为当非零行的第一个非零元为 1 1，且这些非零元所在列的其他元素都是，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为时，称为行最简形矩阵行最简形矩阵0⑪⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, ,且不改变列向量间的线性关系；且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, ,且不改变行向量间的线性关系且不改变行向量间的线性关系. .即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. .√√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对对施行一次初等施行一次初等变换得到的矩阵变换得到的矩阵, ,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵乘乘；；A○○行行○○左左A对对施行一次初等施行一次初等变换得到的矩阵变换得到的矩阵, ,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵乘乘. .A○○列列○○右右A矩阵的秩矩阵的秩 如果矩阵如果矩阵存在不为零的存在不为零的阶子式，且任意阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵阶子式均为零，则称矩阵的秩为的秩为. .记作记作Arr 1Ar( )r Ar向量组的秩向量组的秩 向量组向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩的极大无关组所含。