随机变量数学期望的求法及应用 优秀毕业论文.doc

随机变量数学期望的求法及应用专业代码： 070101 作者姓名： 王忠波 学 号： 2006200829单 位： 2006级2班指导教师： 樊树芳2010年5月20日原创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果•除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名： 日期 指导教师签名： 日期 目录前言 1第一章基础知识 21.1数学期望的定义 21.2数学期望的性质 3第二章2.1利用数学期望定义 42.2利用数学期望的性质 42.3利用特征函数 52.4利用条件数学期望法 62.5利用微分法 72.6利用分布的对称性 82.7利用递推法 9第三章数学期望的应用 103.1数学期望在生产和销售利润中的应用 103. 2数学期望在风险与决策中的应用 123. 3数学期望在物流管理中的应用 143.4数学期望在民事纠纷、医学、体育中的应用 17结束语 20参考文献 21致谢 22概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的数学学科•其中，数学期望 反映的是随机变量取值的平均程度•通过举例对随机变量的数学期望的求法进行探究，利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及特征函 数等，给出了数学期望的儿种计算方法，并在此基础上，探讨了数学期望在生产 销售、风险决策、物流、民事纠纷、医疗卫生和体育等方而的应用，有利用于我 们进一步了解随机变量数学期望的性质和应用.关键词：随机变量；数学期望；分布；应用AbstractProbability theory and mathematical statistics is a subject which research the random phenomena and its statistical laws. Within, mathematical expectation reflecting the average value of the figure. Research the solution of mathematical expectation through the example, conducted by mathematical expectation definition, properties, formulas, random variable distribution of symmetry, and the characteristic function, and so on, give the calculation method of the mathematical expectation. And on this basis, discuss the application of mathematical expectation in production and marketing, risk management, logistics, civil disputes, medical and sporting, beneficial for us to gain a better understanding of the random variable mathematical expectation of the properties and applications.Key words： random variable； mathematical expectation； distribution； application随机变量数学期望的求法及应用-XX. —1—刖 B数学期望是随机变量的数学特征Z-,反映随机变量平均取值的大小，乂称 期望或均值•它是简单算术平均的一种推广，在理论和实践中具有广泛的应用•本 文总结随机变量、数学期望的有关性质，总结了计算数学期望的多种方法，给岀 了数学期望在经济活动与口常生活中的应用实例，以便使数学期望更好的与实际 问题相结合.定义1设随机试验的样本空间为S = {, X = x{e}是定义在样本空间S上的 实值单值函数，称X = X{e}为随机变量.定义2随机变量全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种 随机变量称为离散型随机变量.设离散型随机变量X所有可能取的值为兀伙= 1,2,…），X取各个可能值的概 率，即事件{X =xk}的概率，为P{X = }= pk.k = 1,2,….由概率的定义，几满足如下两个条件：1，pk >0,k = 1,2,…；82’工几i・我们称P\X = xk}= pk.k = 1,2,…为离散型随机变量的分布律.定义3设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x) = P{X < x}称为X的分布函数.如果对丁-X的分布函数FU),存在非负函数/(X),使对于任意的实数兀有rXF(x) = ] f(t)dt,J— 00则称X为连续型随机变量，其中函数门兀)称为X的概率密度函数.第一章基础知识1.1数学期望的定义设离散型随机变量X的分布列为P{X = xk}= pk.k = 1,2,・・・・若级数00k=\绝对收敛，则称级数工 W 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即*=|G0E(X) =》“几•设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分xf(x)dx00绝对收敛，则称『xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即J —00E(X)二「xf{x)dx.J —001.2数学期望的性质数学期望有以下重耍性质：1’设C是常数，则有E(C) = C・2,设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX) = CE(X)・3设X, 丫是两个随机变量，则有E(x + r)= E(x)+E(y).推广到任意有限个随机变量Z和的情况e(l)=e6)・*=1 *=14,设X, Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) = E( X)E(Y).推广到任意有限个相互独立的随机变量Z积的情况k=l k=\第二章数学期望的求法数学期望是概率论的重耍内容之一，随机变量的数学期望是反映随机变量取 值的集中位置的一个重耍数字特征，随机变量的其它数字特征都是通过数学期望 来定义的，因此数学期望的计算问题显得非常重耍，由于随机变量的分布形式不 同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分布，其解法也多种多样，技巧性较 强，因此，探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义，下面介绍一些计算 数学期望的不同方法.2.1利用数学期望定义□0此法是计算数学期望最常用的一种方法•它是先通过数学手段将工忑几转化 成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式，然后求和获解•该方法思路明确， 但有时运算比较麻烦.例1设随机变量X服从泊松分布X〜兀(2),求它的数学期望E(X)・解X的分布律为p{x =k} =k\k = 0,1,2,…，A > 0.X的数学期望为OCR=0k\即 E(X )=兄.例2设随机变量X服从指数分布X〜exp(A),求它的数学期望E(X). 解X的概率密度为丄＞ 0；fM = \30,其他X的数学期望为rooE^ = Lx- Aeoorco a r00 . I即 E(X) = -.A2. 2利用数学期望的性质有些随机变量的结构很复杂，利用定义求其数学期望需耍求其概率分布，若 直接求概率分布很困难，此时可以根据实际意义将耍求数学期望的随机变量X分 解为数个简单随机变量的和，然后利用数学期望的性质求解，从而化整为零、化繁 为简，这也是概率论学习中一种很重耍的思想方法(乂称分解随机变量法)，这种处理方法带有一定的普遍意义.常用的公式为e(l)= eg)・特别是常把复杂的随机变量分解成若干个 k=l k=\服从贝努利分布的随机变量Z和，即设0,概率为；1,概率为n n易得，若y = 心，且西,七,…，兀相互独立，则E(y) = ^p,・Z=1 i=l例3 一公交车上载有30位乘客自火车站开出，乘客有15个站可以下车•如果到达一个车站没有乘客下车就不停车，以X表示停车次数，求E(X)・解由题意知JO,在第i站无人下车X ； = < . , I = 12 …•1,在第i站无人下车.P{Xj=0} =(挣o, p{x严 1}=1 -(律严，心1,2,…,15・1 J * J因为 X = X1+X2+--- + XI5,15 15 14= 7.823 次.所以 = = 1-A30/=! /=1 L例4某人一次写了川封信,乂写了”个信封，如杲他任意地将/?张信纸装入 个信封中，求平均装对的信件数.解设T豔常駁霧>浄为所有装对的信件数,则E(Xk) = \^P{Xk =1} + 0/区=0} = -,nE(X) = V XA. = /z • — = 1.日 n2.3利用特征函数有时计算随机变量的特征函数f(r)=E(严)比直接计算E(X)耍简单，此时可以考虑先算出特征函数，再利用它与数学期望的关系,求出数学期望本身.随机变量X的特征函数定义为：工严P(X =xJ(X为离散型时)；f(^ = Eeitx\ 1f jx P(x)dx(X为连续型时，PCr)为X的分布密度函数). J — 00则 E(X)二 1 广)(0) •特别地，E(X) = -广(0)・i i例5设随机变量X服从正态分布X〜N(“q2),求它的数学期望E(X).解 由X〜N(“q2),可求特征函数/⑴为2a2dx = e所以即 E(X) = “・2.4利用条件数学期望法利用条件期望公式E(X) =耳 E( X\Y = y「)P(Y = yj 或 E(X) = [:E(X I Y = y)P(y)dy , 可得数学期望.例 6 设歹 ~ (7(0,1)，当歹=无时，77~t/(O,x),求 E(77)・+ 00E(q \ g =兀)P (x)dx =—00解由题意*｛〃丨g =兀｝ = ?,0 < x < 1, 丁•是E(〃)=即例7设质量加与加速度。

是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为[2/?2,0 < x < 1; 如％其他7CT,0