中南大学数值分析教材.ppt

计 算 方 法 数值分析 Numerical Analysis 潘建瑜 华东师范大学数学系 科学计算 q 科学计算 Scientific Computing (计算科学 Computational Science) l 使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的能 力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计 算方法来求解，因此即为数值计算/数值分析/计算方法 u 科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各 种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油探 勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具 计算数学是科学计算的核心与基础 u 科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数 学将触角伸向其他学科的桥梁 科学计算 u 随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学 研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物 理、计算化学、计算生物学、计算经济学等 q 科学计算 u 使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科 技活动的主要方法之一熟练地使用计算机进行科学计算，已 成为科技工作者的一项基本技能 科学计算 q 利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程： 实际 问题 数学 模型 数值 方法 程序 设计 上机 实现 应用举例 问：今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

问上、中、下禾实一秉各几何？ ——《九章算术》 例：一个古老的数学问题 应用举例 线性方程组数值求解 —— 教材第五、六章 应用举例 例：人口预测表格中是我国1950年到2005年的人口数（见 中国统计年鉴），试预测未来的人口数 插值与曲线拟合 —— 教材第二、三章 年份人口(万) 1950 55196 1955 61465 1960 66207 1965 72538 1970 82992 1975 92420 1980 98705 1985 105851 1990 11433 1995 121121 2000 126743 2005 130756 应用举例 例：铝制波纹瓦的长度问题 建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压 制而成假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度(从中 心线)为 1 英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L 应用举例 这个问题就是要求由函数 f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即: 数值积分与数值微分 —— 教材第四章 上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算 应用举例 矩阵特征值计算 —— 教材第八章 例：Google 搜索引擎 1998 年创立，目前市值近2000亿 G: Google Matrix, “the world’s largest matrix computation” x: PageRank vector “The $25,000,000,000 Eigenvector” —— SIAM Review，2006 Gx = x, eTx =1 计算方法的任务 q 计算方法/数值分析的任务 u 设计求解各种实际问题的高效可靠的数值方法 l 有效：易于在计算机上实现 l 可靠：收敛性稳定性等有理论保证 l 高效：尽可能地节省计算时间和存储空间 对于同一问题，不同的算法在计算性能 上可能相差百万倍或者更多！ u 对求得的数值解的精度进行评估 u 研究数值算法在计算机上的实现 计算方法 例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需 要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至少 需要 n!(n2-1) 次乘除运算。

而使用高斯消去法，只需约 2n3/3 次乘除运算 用每秒运算 30 亿次（主频3.0G）的计算机求解时，大 约需要10000年的时间 l 当 n=20 时， 如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成 数值方法特点 q 数值方法的特点 u 方法是近似的，所以求出的解是有误差的 u 与计算机紧密结合：上机实现 l 掌握一门语言：C 语言或 Fortran 语言 l 熟悉一种数学软件：Matlab，Maple 或 Mathematica 课程信息 数值分析（第五版）q 教材： 李庆扬等编著，清华大学出版社，2008 q 答疑时间：周一晚上 18:30 — 20:30 地点：数学楼 213 q 上机时间：周四 3、4 (双周) 地点：数学楼二楼200机房 q 上课时间：周一 1、2，周四 3、4 q 课程主页： 参考资料 l 第三种科学方法：计算机时代的科学计算 石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000 l 科学计算导论（第 2 版）（英文影印版） M.T. Heath 著，清华大学出版社：McGraw-Hill，2001 l 现代科学计算 蔡大用，白峰杉，科学出版社，2000 l 数值线性代数 徐树方等，北京大学出版社，2000 & 参考资料 主要内容 q 插值法 q 函数逼近 q 数值积分和数值微分 q 线性方程组的直接解法和迭代解法 q 非线性方程（组）的数值求解 q 矩阵特征值与特征向量的计算 q 常微分方程的数值解法 所需知识 l 微积分 l 高等代数、线性代数 l 常微分方程 l Matlab 编程 q 所需知识 q 考试方式 l 期末 60% l 平时 40%（期中考试，平时作业，上机表现，考勤） 基本概念 l 解析解、精确解、真解、真值 l 数值解、近似解 l 数值算法：求问题的数值解的方法 u 算法的可靠性包括：收敛性，稳定性，误差估计等 u 算法的评价（优劣） l 时间复杂度（计算机运行时间） l 空间复杂度（所占用的计算机存储空间） l 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度） 数学软件 由于各种科学计算问题最后通常都归结为求解一些基本的问 题，针对这些基本问题，已有一些相对固定的高效的算法， 并设计成软件包。

l 最有名的软件包之一 LAPACK —— Linear Algebra PACKage l 较流行的软件：Matlab，Maple，Mathematica 等 l 网络资源：NetLib、GAMS 。