北京市延庆区2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题[含答案].docx

2024北京延庆高三9月月考数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，则（ ）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（ ）A．1 B． C．2 D．3．下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）A． B． C． D．4．若，则一定有（ ）A． B． C． D．5．若，则（ ）A． B． C． D．6．已知函数，则（ ）A．图象关于轴对称，且在上是增函数B．图象关于轴对称，且在上是减函数C．图象关于原点对称，且在上是增函数D．图象关于原点对称，且在上是减函数7．已知函数，则不等式的解集是（ ）A． B． C． D．8．设已知数列中，，则下列结论错误的是（ ）A． B． C．是等比数列 D．9．设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ）A．2 B．4 C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．函数的定义域是_____________．12．把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得到的图象对应的函数解析式是_____________．13．已知函数在存在最小值3，则满足题意的_____________．14．若函数存在最小值，则的一个取值为_____________；的最大值为_____________．15．函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象．给出下列四个结论：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在上单调递增．其中所有正确结论的序号是_____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题13分）已知是各项均为正数的等比数列，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求的最大值．17．（本小题14分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．19．（本小题14分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项．据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别单人赛PK赛获奖一等奖二等奖三等奖中学组4040120100小学组3258210100（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）20．（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若，证明：．21．（本小题15分）已知数列为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合，中元素的最大值记为，最小值记为．（Ⅰ）若数列为，且，写出的值；（Ⅱ）若，求的最大值及的最小值；（Ⅲ）若，试求的最小值．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9．A 10．C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11． 12． 13．214．0（第一空不唯一，区间上任意值都可以），4（注：第一空2分，第二空3分）15．①③④（注：对一个2分，对2个4分，对3个5分）三、解答题（共6小题，共85分）16．解：（Ⅰ）设的公比为，因为，所以．解得（舍去）或．因此的通项公式为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，，故是首项为，公差为的单调递减等差数列．则．又，所以数列的前4项为正数，所以当或5时，取得最大值，且最大值为．17．（Ⅰ）．选条件①：函数的图象经过点．则．即．所以．因为，所以．所以．条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到．因为函数的图象可由函数的图象平移得到，所以函数的周期与函数的周期相同．因为函数的周期，所以函数的周期．则，即．所以．选条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．因为函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以函数的周期．则，即．所以．（Ⅱ）因为关于的不等式恒成立，所以在的最大值不大于即可．因为，所以．所以．所以，即．当且仅当，即时，取得最大值2．所以．所以实数的取值范围为．18．（Ⅰ）由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即；（Ⅱ）因为，因为和均在区间因为上单调递减，所以在区间上单调递减，因为，，所以在上有且只有一个零点，记为，所以时，；时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减因为，所以在区间上的最小值为．注：学生如果用其他方法，按步骤给分19．（Ⅰ）方法一：从表格中可知：获奖学生总数为：人，获得一等奖的人，记事件为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖”，则，记事件为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生来自中学组”，则为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖且来自中学组”，，因此从获奖学生中随机抽取1人，若获得一等奖，抽到的学生来自中学组的概率为．注：学生如果用其他方法，按步骤给分（Ⅱ）的取值范围是．记事件为“从中学组获奖者中取1人，该人是PK赛获奖”，事件为“从小学组获奖者中取1人，该人是PK赛获奖”，中学组获奖者有，其中PK赛获奖的人数为100，小学组获奖者有，其中PK赛获奖的人数为100，．由题意知，事件相互独立，所以；所以的分布列为：012的数学期望．（Ⅲ）．20．（Ⅰ）的定义域为．由得．令得．因为，所以当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）由，依题意，在上恒成立．设，则．令，得（舍），．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．故．又由得．所以．依题意需，即．设，则易知在为增函数．又，所以对任意的，有；对任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范围为．（Ⅲ）由得，且．由（Ⅱ）知，当时，，当且仅当时取等号．所以．两式相加得，即．故．注：学生如果用其他方法，按步骤给分21．（Ⅰ）．（Ⅱ）最小值为6，的最大值6063．证明：对于1，2，2021，2022的一个排列，若，则中的每一个元素为，由题意，那么，对于任意的，总有．同理，由题意，那么，对于任意的，总有，当时，满足：．（Ⅲ）的最小值为6069．由于，对于1，2，2021，2022的一个排列，中的每一个元素为，由题意，对于任意的，都有即．构造数列，对于数列，设任意相邻6项的和为，则，或若，则若，则所以，即对这样的数列，又，所以的最小值为6069。