地震纵波与横波传播动力学特点.doc

§ 1.3地震纵波和横波传播的动力学特点序：在无限均匀的、各向同性的、理想的弹性介质中，只存在纵波和横波1. 讨论这种介质中波传播的动力学特点（A、f、©的变化）2. 讨论这种介质中波场的定量计算3. 讨论粘弹介质的情况一、地震波的球面扩散1 •波动方程?U.:t22 P=(•」)grad J 出 2u 汗(6.1-8)其中入、卩是拉梅常数,U =u i vj wkF = fxi fy j fzkp是密度是位移向量是外力向量:x+;22是拉普拉斯算子v - divU =— dx.y :z是体变系数是体变系数的梯度胡一胡一胡-grad i j kex dy cz2•复习场论的几点内容rot(divx) =0—Fdiv(rotx) =0 rot(grady) =0 div(grady) _ ■ 2y剪切力、产生固体的转动，形成横波，是无散场胀缩力，产生固体、气体、液体的 体积大小变化，形成纵波是无旋场 3 •纵波的波动方程（1）方程如果外力是胀缩力、无剪切力，则外力矢量—* —F是无旋场，位移矢量U就是无旋的即rotF =0, rotL=0，则表明介质中的各小部分只有体积的胀缩，而没有转动，介质中就只有纵波而没有横波。

对（6.1-8 ）求散度（div）得纵波方程:■2i二 divF(6.1-9)或 ；—V敖〜-divF 抚2 p（2）物理意义如果对介质作用胀缩外力div F的话，产生由体变系数B决定的介质体积相对胀缩的扰动，这就是纵波，纵波的传播速度为Vp(6.1-11)4 •横波的波动方程（1）方程如果外力是剪切力无胀缩力，则外力矢量 F是无散的位移矢量U就是无散的即divF =0, divu=0，则表示介质各小部分只有转动而没有体积的胀缩，介质中就只有横波而无纵波对（6.1-8 ）式求旋度（rot ）得横波方程w：：t2_2 -(6.1-10 )■ W 9 2或 Vj、 w = rot F赤 s其中 w^rotU（2）物理意义:如果对介质作用旋转外力 rot F的话，产生由向量w决定的角度转动的扰动，这就是横波，横波的传播速度为大家知道气体和液体中不可能有横波，为什么呢？因为无法对气体和液体施 加旋转力或剪切力5 •用位移位表示纵、横波的波动方程就象重力场可用重力.位.、电场可用电位来描述一样，地震波场也可用质点位 移的位移位描述根据涡流电场的理论：任何一个矢量场，如果在定义域内有散度和旋度，则任何一个矢量场=i亥矢量场的标量位的梯度+该矢量场的矢量位的旋度则位移矢量场=位移矢量场的标量位的梯度+位移矢量场的矢量位的旋度(6.1-12)U =U p U s = grad rot : b- —ir i. —»F = Fp Fs =grad①亠 rot?其中'■ 位移场的标量位——位移场的矢量位门——标量力位审——矢量力位将（6.1-12 ）代入（6.1-9 ）和（6.1-10），得用位移位表示的纵波波动方程:'r -Vp^ 2 邛(6.1-13)用位移位表示的横波波动方程:'厂八；'、、厂二亍(6.1-14).:t26 •求解波动方程(1)求解齐次波动方程① 齐次方程要研究波的动力学特点，则要求解其波动方程。

求解波动方程要知道初始条件地震勘探中一般用炸药震源，激发出的脉冲 波的延续时间为△ t，可写成：t t(0① =怦⑴0兰t兰At (6.1-15)0 曲(6.1-15)式中，当t> △ t时，“ =0的物理意义是震源力作用已结束，波动在弹性介质中传播，标量力位 门=0,矢量力位T，此时波动方程(6.1-13 ) 和(6.1-14 )变为齐次方程：「2 ■-=弋、、2 =0 (6.1-16).:t2 p.t(6.1-17)② 齐次方程的解齐次方程的解只研究波与介质性质的关系， 而不考虑震源力的作用，这类问题属于波的传播问题但波的性质首先决定于震源的性质，则必须将波动与震源联系起来，这就要 求解非齐次方程，这类问题属于波的激发问题因此研究波动方程的解时，思想方法是：先求解齐次方程，这样数学上容易 处理，只研究波同介质的关系，不涉及震源，使问题单一化然后再研究激发问 题，把波同震源联系起来纵波和横波的波动方程(6.1-16 )和(6.1-17 )形式完全一样，求解的数学过程完全相同，下面以纵波为例用图6.1-4所示的球腔震源模拟实际炸药震源，半径为a的球腔具有球形对 称性，均匀作用在球腔壁上的力是单位正压力 P。

P8 图 6.1-4考虑到球形对称性，将（6.1-16 ）用球坐标（r, a , B）表示，因为球形对称性，方程与a、B无关，于是（6.1-16 ）成为：二ft2-2 _ ) :r r :: r=0(6.1-18 )可见方程只与传播距离r有关，三维波动方程变成一维波动方程如果令\ ， 上式成为；：2 】2 ；：2 】21 -Vp2 21 =0 （6.1-19 ）cr上式为弦方程，可用达朗贝尔法解，得(6.1-20 )1 二 ra） C2（t - a） Vp Vpa――是震源球腔半径r 是传播距离Vp――纵波速度r - aG（t -）表示随时间增加，波动向远离震源的方向传播VpC2（t •匸表示随时间增加，波动由远处向震源传播不符合物理意义，舍去VPf(x)C(t)(6.1-20 )变成：i 訂,G(t - 子) (6.1-21 )Vp或 ^1C1(^- a) (6.1-22 )r r Vp③ 齐次方程解的物理意义从上述波传播问题的解中可看出，在震源作用结束之后，纵波是以速度 V)-2J—(6.1-11)沿径向r方向远离震源传播传播速度 Vp只决定于介质的常数入、卩、p o类似地可推知：横波以速度Vs沿径向r方向远离震源传播，其传播速度仅决定于介质参数U、po Vs喘 ©1-11)Vp =(2)求解非齐次方程①求解：波的传播问题只描述了波动的某些特点，还不能明确地给出波动的任何具体 状态，因为Cl是一个任意的函数。

要研究解的性质，就必须研究 Cl函数同震源的关系，这就是第二步要研究的波的激发问题对球腔纵波震源来说，非齐次方程的位移解为（参考 ⑹［7］）：（：）2一 ；（：沧"• "、）叩彳…n“12(6.1-23) r第一项第二项第三项甘 t r — a其中l =t 一 ;2—2Vs ；1£；Vn 2 戶 ①=U (——)-1VpaVp 'Ws 一4卩从（6.1-23 ）式可以看出，纵波质点位移解可分成三项第一项为不随时间而变化的非振荡项；第二项和第三项均为与时间有关的振荡项当波远离震源时2满足a<

③ 对横波震源的说明:如果在半径为a的球腔壁上突然加上一剪切力，这时只产生横波为使问 题研究方便起见，我们限于研究某一平面内（例如水平面内）的偏振横波，这样 在球坐标内横波的位移分量只有 u.，（ ur = u\ = 0 ,因为横波在传播方向上不会 有位移，另一方向上为简单起见而不研究）令加在球腔壁上的切应力为单位切 应力So,则在远离震源处横波的质点位移表达式是：P9 图 6.1-5（6.1-25 ）式横波解的物理意义：a.指数衰减的正弦振动 在球腔壁上加上单位切应力 So后，横波的质点位移是衰减的正弦振动衰减的快慢的决定于系数Vs的大小ab. 球面扩散横波的振幅也随传播距离的增大而减小，也就是横波也具有球面扩散c. 振动方向丄传播方向横波在球坐标内有位移u：. , a与r是正交的，所以横波的质点位移振 动方向与波的传播方向垂直7.总结（1） 纵波（P波）——介质中质点的振动方向与波的传播方向平行2） 横波（S波）一一介质中质点的振动方向与波的传播方向垂直3)射线平面——入射线与界面法线构成的平面。