第二章--误差与不确定度-本章要点：.ppt

第二章 误差与不确定度,本章要点：,误差的概念与表示方法,随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法,测量不确定度的概念和评定方法,测量数据处理的方法,本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得 与误差打交道2.1 误差的概念与表示方法,误差=测量值-真值,例如，在电压测量中，真实电压5V，测得的电压为5.3V，则,误差= 5.3V - 5V = +0.3V,真值为“表征某量在所处的条件下完善地确定的量值”真值是一个理想的概念真值客观存在，却难以获得实际值------实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用实际值”≈“约定真值”2.1.1 测量误差,例如：现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？,1.绝对误差：,定义：被测量的测量值x与其真值A0之差，称为绝对误差在实际测量中：,“约定真值”≈“实际值”= A 表示,修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值， 一般用C表示,2 相对误差：,例： 用二只电压表V1和V2分别测量两个电压值V1 表测量150伏，绝对误差Δx1=1.5伏，,V2 表测量10伏， 绝对误差Δx2=0.5伏,从绝对误差来比较 Δx1 ＞Δx2 谁准确？,-----表示相对误差,相对误差可以有多种形式：,,,,,真值相对误差,实际值相对误差,测量值（示值）相对误差,满度（或引用）相对误差,常用,,因通常 A0、A、X ΔX 故常用X方便,测量值相对误差γx与满度相对误差S%的关系：,,,,测量值x靠近满量程值xm相对误差小,电工仪表将满度相对误差分为七个等级：,例：检定量程为100μA的2级电流表，在50μA刻度上标准表 读数为49μA，问此电流表是否合格？,解： x0=49μA x=50μA xm=100μA,,,（二级表）,随机误差----不可预定方式变化的误差（同随机变量）,系统误差----按一定规律变化的误差,粗大误差----显著偏离实际值的误差,2.1.5 测量结果的评价,系统误差 ε 小，准确度高,系统误差和随机误差都较小，称精确度高,Δx= ε + δ + (粗大误差),2.1.6 不确定度,不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念。

在传统误差理论中，总想确定“真值”，而真值却又难以确定， 导致测量结果带有不确定性国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的 概念不确定度愈小，测量结果的质量愈高，愈接近真值，可信 程度愈高2.2 随机误差,2.2.1 定义与性质,测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、同一仪器 同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度 测量随机误差定义：在等精度测量下，误差的绝对值和 符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、 或然误差，简称随差随机误差概念----不可预定方式变化的误差（同随机变量）,举例：对一电阻进行n=100次等精度测量,表 2.2 按大小排列的等精度测量结果,,随机误差性质：服从正态分布，具有以下4个特性：,对称性——绝对值相等的正误差与负 误差出现的次数相等；,单峰性——绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现次数多；,有界性——绝对值很大的误差出现的 机会极少，不会超出一定的界限；,抵偿性——当测量次数趋于无穷大， 随机误差的平均值将趋于零2.2.2 随机误差的统计处理,随机误差与随机变量的类同关系,1.数学期望,设x1，x2，…，xi，…为离散型随机变量X的可能取值，相应 概率为p1，p2，…，pi，…其级数和为,若,绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E(X),在统计学中，,期望与均值是同一概念,算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律 可知，若测量次数无限增加，则算术平均值,必然趋于实际值。

2.方差、标准差,方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望， 记为D（X），即,例：两批电池的测量数据,测量中的随机误差也用方差,来定量表征：,,式中,,是某项测值与均值之差，称为剩余误差或残差，,记作,,将剩余误差平方后求和平均，扩大了,离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度标准差,方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便为了与随机 误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记 作,应当指出，剩余误差νi应包含系统误差ε和随机误差δi，因这里 只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即,,,正态分布,在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差 的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数 为正态分布,,,当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值,和标准差σ，该,正态分布的曲线形状则基本确定给出了,时，三条不同标准差的正态分布曲线：,标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据,占优势大，即测量精度高本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表其中,,,式中k为置信因子，a为所设的区间宽度的一半。

K=1时，,K=2时，,K=3时，,,,,,,,,,图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差,上述正态分布是（n→∞）下求得的，但在实际测量中只能进行 有限次测量,1.有限次测量的算术平均值,对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量 值的算术平均值与被测量的真值最为接近设被测量的真值为μ，其等精度测量值为x1，x2，…，xn，则 其算术平均值为,由于,的数学期望为μ，故算术平均值就是真值μ的无偏估计值实际测量中，通常以算术平均值代替真值2.有限次测量数据的标准差—贝塞尔公式,上述的标准差是在n→∞的条件下导出的，而实际测量只能做到 有限次当n为有限次时，可以导出这时标准差为,,（2.20）,这就是贝塞尔公式由于推导中不够严密，故,被称为标,准差的估值，也称实验标准差3.平均值的标准差,在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m组 进行测量，每组重复n次测量，则每组数列都会有一个平均值， 由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定 分散性这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差当需 要更精密时，应该用算术平均值的标准差,来评价。

已知算术平均值,为,,,在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个 随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导,,,因,故有,所以,当n为有限次时，用标准差的估值即可，则,,（2.21）,结论：（2.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n次 测量样本标准差的,,,,分之一即算术平均值的标准差估值,,比样本标准差的估值,比样本标准差的估值,小,倍，,表明了各组平均值再平均以后数值更集中了这是由于随机误 差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度 越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据所 以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差意义：（2.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组 数据，求得标准差，将其除以,，则相当于得到了多组数据,的算术平均值的标准差归纳：有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：,(1)列出测量值的数据表,(2)计算算术平均值,(3)残差,(4)标准差的估计值（实验标准差）,,(5)算术平均值标准差的估计值,,第一次课到此 作业：9、10、11,例2.6 对某信号源的输出频率进行了8次测量，得测量值,的序列(见表2.3) 。

求测量值的平均值及标准偏差表2.3 例2.6所用数据,,解: (1)平均值（注意,这里采用的运算技巧）,(2)用公式,计算各测量值残差列于表2-3中,(3)标准差估值,(4),的标准偏差,因整数位不变,,2.15 对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下：求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估值,,解：Ux的算术平均值,,,,标准偏差估值,残差,2.2.4 测量结果的置信度,1.置信度与置信区间,(百分比),(范围),置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围内可 靠程度的量，一般用百分数表示置信区间，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，,,如±,给定2个标准差±,范围内数据的可信度是百分之几？,条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题2.正态分布下的置信度,K=1时，,K=2时，,K=3时，,k=3时，即在以3倍标准差±3σ区间内，随机误差出现的概率为 99.73%，而在这个区间外的概率非常小图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,3. t分布下的置信度 （n20）,,在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求 出标准差的估值s(x)，但因测量次数较少（如n＜20时，测值 不服从正态分布。

英国人科萨特（Gosset，但常以 “student” 笔名发表文章）证明了这时服从t分布，也称“学生”氏分布 t分布的图形如图2.9所示，图形类似于正态分布但t分布与标 准差σ无关，与测量次数n关系紧密，从图2.9可以看出，当 n＞20以后，t分布与正态分布就很接近了可以用数学证明当 n→∞时，t分布与正态分布完全相同,t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题例2.8 对某电感进行12次等精度测量，测得的数值（单位mH） 为20.46、20.52、20.50、20.52、20.48、20.47、20.50、 20.49、20.47、20.49、20.51、20.51，若要求在P=95%的 置信概率下，该电感测值应在多大置信区间内？,解：第一步：求出,,,及,,电感的算术平均值,,电感的标准差估值,算术平均值标准差估值,第二步： 查附录B：t分布表，由n－1=11及P=0.95，查得t=2.20,,,,,第三步： 估计电感L的置信区间,,，其中,,则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为[20.48mH，20.51mH]4. 非正态分布,以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括t分布). 在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的。

下面 介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题1)均匀分布,均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的 一种重要分布，如图2.10所示其特点是在误差范围内，误差 出现的概率各处相同如仪器中的度盘回差所导致的误差；数 字仪器中的量化误差（在±1单位以内不能分辨的误差）；数 据计算中的舍入误差（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同 的）等，均为均匀分布误差均匀分布的概率密度为,a ≤ x ≤ b,可以证明，图2.10所示的均匀分布的数学期望为,,标准差为,（2.24）,（2.25）,,,2.3 粗大误差,在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺 陷、电磁干扰及电压跳动等粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除剔除是要有一定依据的在不明原因的情况下， 首先要判断可疑数据是否是粗大误差其方法的基本思想是给 定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差 就认为是粗大误差具体检验方法常见的有三种：,2.3.1 定义,2.3.2 处理,2.3.3 剔除法则,检验方法常见的有三种：,1 莱特检验法（n200）,＞3s（x）,2 肖维纳检验法（判则不严）,3 格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）,＞Gs,在一组测量数据中，可疑数据应极少。

否则，说明系统工作不 正常2.3.4 应用举例,例 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表2.7中， 试检查数据中有无异常表2.7 例 2.12所用数据,(1）莱特检验法 ： 从表中可以看出x8=20.30℃残差较大，是个 可疑数据，,,,,,℃,故可判断x8是异常数据，应予剔除再对剔除后数据计算得,其余的14个数据的,,均小于,,，故为正常数据。