高考数学复习用联想“模型函数”法破解抽象函数.doc

高考数学复习一一用联想“模型函数》法破解抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试 题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睞.因为抽彖，学生解题时 思维常常受阻，思路难以展开.然而抽象來源于具体，抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象 函数 f(X)满足 f (x+y)二 f(x)+f(y),可联想到 f (x) =kx (k HO),有 f (xi) =kxi , f (x2) =kx2 , f(X1+X2)二k(xi+x2)二kxi+kx2=f (xj+f(X2),则 y=kx 就可以作为抽象函数 f(x)满足 f (x+y) =f (x) +f (y)的一个 “模型函数” •分析抽彖函数问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的 具有相同或相似结构的某个“模型函数”，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有 的某种性质而使问题获解，是我们解决抽彖函数问题的一般方法•有鉴于此，本文试图归纳一些中学阶段 学过的常见“模型函数”，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.一、中学阶段学过的常见“模型函数”抽象函数模型函数f(x+y)=f(x)+f(y)y=kx (k为常数)f (x+y) =f (x) +f (y) -ay=kx+a (k, a 为常数)f(x+y)=f(x) • f(y)y=ax (a>0 且 aHl )f(xy)=f(x)+f(y)y二log；： (a>0 且 a^l)f(xy)=f(x) f(y)y=xn (n为常数)注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等于函数的和对应 的模型函数为对数函数等.二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析【例1】已知函数f (x)对于任意实数x、y都有f (x+y) =f (x) +f (y),且当x>0时，f (x) >0, f(T)二-2, 求函数f(x)在区间卜2, 1］±的值域.联想：由f (x+y)二f(x)+f(y)联想“模型函数” y二kx (k为常数)为奇幣数，k<0时为减函数，k>0时为 增函数，从而猜测：f(x)为奇函数Hf(x)为R上的单调增函数,且f(x)在［—2,1］上有f(x)丘［一4,2］.【例2】函数/(兀)对任意Q、bwR,都有/(d + b) = /(d) + /(b) —1,并且当兀>0时，/(x)>l. (1) 求证：/(%)是R上的增函数；(2) 若 /(4) = 5 ,解不等式 /(3m2 - m- 2) < 3.联想：由/(d + b) = /(d) + /@)-1联想“模型函数” y二kx+1 (k为常数),由条件易知k>0,从而猜测: f(x)为R上的单调增函数,……【例3】已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(O)HO, f(x+y)=f(x)f(y),且当xVO时,f(x)>l, (1) 当x>0时,求f(x)的取值范围;(2)判断f(x)在R上的单调性联想：由f(x+y)=f(x)f(y)联想“模型函数” (a>O,a^l),当a> 1吋为单调增函数，且x>0时，y>1, xVO时，0l, x>0时，00时，00时, 0 < /(X)< 1.(1) 求证：/(0) = 1,且当兀 v0时,/(x) > 1 ；(2) 求证：于(兀)在R上递减；(3) 设集合/4 = {(x,y) | f(x2) - f(y2) > /(l)}, B = {(x,y) | /(0, aHO),从而猜测：f (x)有 f ⑴二0, f (16)=2, 【例6】己知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x>l时，f(x)0； (2)求证：f(x)在(0, +8)上为单调减函数；(3)若f (m) =9,试求m的值.联想：由f(xy)=f(x)f(y)联想“模型函数” y坟，从而猜测:f(x)>0,在(0, +8)上为单调减函数，……【练习】1. 函数y = /(x)的定义域为(-fl］，则函数y = /［log2(x2-2)］的定义域是3.如果奇函数/(兀)在区间［3,A.增函数且最小值为-5C.减函数II最小值为-5-3]± 是(7］上是增函数且有最小值为5,那么/(兀)在区间［-7,B.增函数且最大值为-5D.减函数且最大值为-54. 已知/(切的定义域为疋，且/(x + ^) = /(%) + /(y)对一切正实数x, y都成立，若/⑻=4,则 /(2) = •5. 已知/(兀)是定义在R上的函数,且满足:/(兀+ 2)［1 —/(兀)］=1 + /(兀)，/(I) = 2009,求/(2009) 的值.6. 已知函数/⑴是定义域为R的偶函数，xvO时，.f(x)是增函数，若%, <0, x2 >0,且\xy\<\x2\,则/(一州)，•/*(一兀2)的大小关系是 .7. 已知函数y(兀)对一切实数X都满足/(l + x) = /(l-x),并且/(X)= 0有三个实根，则这三个实根之和是 .8. 己知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(l)=l,且对任意 xGR 都有 f(x+5)$f(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l.若 g(x)=f(x)+l-x,则 g(2008)= .9. 若函数y二/(兀+ 2)是偶函数,则y = f(x)的图象关于直线 对称.10. 已知函数y = 定义在实数集上，II对任意R均有 代x + y) = /(兀)+ f \y)，又对任意的 x>0,都有 f (x) <0, f (3)=-3.(1) 判断函数y = /(兀)的奇偶性。

2) 证明函数丿=/(劝在R上为单调减函数3) 试求函数y = f (兀)在［in, n］ (in, n^Z, IL mn<0)上的值域.11. 已知函数y=f (x) (xWR且xHO),对定义域内的任意实数Xi、X2都有f (XiX2)=f (xi) +f (x2),又y二f(x) 在(0, +°°)上是增函数.(1) 求f⑴、f(-D的值；(2) 求证对定义域内的每一个x值，都有f(-x)=f(x)；(3) 解不等式 f(x)+f(2x—l)N0.12. 设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0时，f(x)<0,且f(2)=-l.⑴求证:f(x)为奇函数；(2) 试问函数f(x)在区间L-2008,2008]上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最小值；如果没有, 请说明理由.联想怦莫型函数”破解抽象函数题(老师用)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试 题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睞.因为抽彖，学生解题时 思维常常受阻，思路难以展开.然而抽象來源于具体，抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象 函数 f (x)满足 f (x+y)二 f(x)+f(y),可联想到 f (x) =kx (k HO),有 f (xi) =kxi , f (x2) =kx2 , f(X1+X2)二k(xi+x2)二kxi+kx2=f (xj+f(X2),则 y=kx 就可以作为抽象函数 f(x)满足 f (x+y) =f (x) +f (y)的一个 “模型函数” •分析抽彖函数问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的 具有相同或相似结构的某个“模型函数”，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有 的某种性质而使问题获解，是我们解决抽彖函数问题的一般方法•有鉴于此，本文试图归纳一些中学阶段 学过的常见“模型函数”，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.一、中学阶段学过的常见“模型函数”抽象函数模型函数f(x+y)=f(x)+f(y)y=kx (k为常数)f (x+y) =f (x) +f (y) -ay=kx+a (k, a 为常数)f(x+y)=f(x) • f (y)y=ax (a>0 且 aHl)f(xy)=f(x)+f(y)y二log；： (a>0 且 a^l)f(xy)=f(x) f(y)y=xn (n为常数)注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等于函数的和对应 的模型函数为对数函数等.二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析【例1】已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x) >0, f(-1)二-2, 求函数f(x)在区间卜2, 1]±的值域.联想：由f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数” y二kx (k为常数)为奇函数，k<0时为减函数，k>0 时为增函数，从而猜测：f (x)为奇函数且f (x)为R上的单调增函数，且f (x)在[―2, 1]上有f(x) e [-4, 2].解析：设 X10, /.f (x2—X1) >0,f (x2)-f(Xi)=f(X2-X1+X1)-f(Xi)=f (x2-Xi)+f(X1)-f(XI)=f(X2-X1) >0,・・・f(X2)>f(Xi), Af(x)为R上的单调增函数.令 x=y=O,则 f (0) =0,令 y=-x,则 f (-x)二-f (x), A f (x)为 R 上的奇函数.・・・f(-1)二-f⑴二-2 ,・・・f(l)二2, f(-2)=2f(-l)=-4, ・・・-4Wf(x)W2(xW[-2, 1]),故f(x)在[-2, 1]上的值域为[-4, 2]注意：由f(x+y)=f(x)+f(y)断定f(x)=kx (k为常数)是错误的，犯了用特殊代替一般的错误(解客 观题还是可以).我们只能借助f(x)二kx (k为常数)来猜测f(x)的性质，为解题指明方向，至于f(x)的 性质的得出，我们还是要由相关定义来严格证明，决不能含含糊糊.【例2】函数/(x)对任意beR,都有f(a + b) = f(a) + f(b) -1,并且当兀>0时,/(x)>l. (1)求证：/(x)是R上的增函数；(2)若/⑷=5,解不等式/(3m2-m-2)<3.联想：由f(a + b) = f(a) + f(b)-1联想“模型函数” y二kx+1 (k为常数)，由条件易知k>0,从而 猜测：f(x)为R上的单调增函数，……解析：(1)证明：设坷、兀2 ER，且兀1 V兀2，则兀2 一兀1 > 0，•： /(兀2 一州)> 1， fg-fg) =/[(x2-xi)+x1]-/(x1)=。