高等数学下第八章习题及答案.doc

第八章 多元函数微分法及其应用1、求下列函数的定义域： (1) ; （2）;解:且 解:得 D =(3) ; (4) .解:且 解: 得 . 得 2、已知函数，试求: 解: 3、设求：.解: 4、求下列极限：（1） （2）; （3）=; （4） 5、证明 不存在.证明 若点沿直线趋于，则所以极限不存在.6、求下列函数的偏导数: （1）; 解: （2） ;解: （3）; 解: ; . .（4）;解:； ; (5)解: 7、设 , 求.解: 因，所以 8、曲线 在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？解: ，，所以9、设 T = 2π, 求证: .解: ，.10、(1)， 求: ;解: （2）, 求: . 解: ，（3）设 求 : .解: 11、验证满足: .证. ，所以.12、求下列函数的全微分： (1) ; 解: (2) ;解: .(3) 求函数当时的全微分.解: ，13、求函数 =,当=2,=1, △ = 0.1, △= -0.2时的全增量和全微分。

解: 14、求下列复合函数的一阶偏导数或全导数:（1） 设而 求 : .解: （2） 设，而，求 .解: （3） 设，而，求 .解: （4）设而，求 .解: 15、求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）: (1); 解: 令则 (2) .解: ；；16、设, 求 ,其中具有二阶连续偏导数.解: 17、,其中具有二阶连续偏导数求:.解: 18、设=,其中 为可导函数, 验证.解: 所以 19、设, 求 . 解: ，20、设，求 .解: ， 21、设.解: 原方程化为，令 .则 22、设, 证明.解: ，所以 .23、设有连续偏导数，证明由方程所确定的函数 满足 .证明 所以 24、设, 求 .解 设则有 ， . ， .25、设 求 .解:此方程组可确定两个一元隐函数.方程两边对求导，得 即 在条件下，有 26、设.解: 方程两边对求偏导，得，即在条件下，有 27、求曲线在点处的的切线及法平面方程解:该点对应参数 切向量为 所求切线方程为 法平面方程为 即 28、求曲线 在（1,1,1）点处的切线及法平面方程.解: 方程两边对求导，得，即；；，切向量为：所求切线方程为 法平面方程为 即 29、求曲线上的点，使在该点的切线平行于平面.解: 曲线的切向量为 平面的法向量为 由题意知 ,即亦即 得 则所求点坐标为 和30、求曲面在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。

解:设 ，点（2，1，0）处法向量为 所求切平面方程为，即所求法线方程为.即：.31、求椭球面上平行于平面的切平面方程解: 设 法向量为 已知平面的法向量为由已知条件知 即，将其代入椭球面方程 得于是切点为， 切平面方程为 和32、求旋转椭球面上点（-1,-2,3）处的切平面与面的夹角的余弦.解:设法向量，33、求函数在点（1，2）处沿从点（1，2）到点的方向的方向导数解: ，，，所以 34、求函数在抛物线上的点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数.解:由，两边对求导，，得（这里也可以直接求）所以 35、求函数在球面上点处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解: 球面在点处的法向量为，.36、设, 求.解: 因 所以 ，37、求下列函数的极值: （1）;解:由 得驻点，有极大值（2）.解:由得驻点，点处从而函数有极小值38、要造一个容积等于的长方体无盖水池，应如何选择水池尺寸，方可使它的表面积最小.解:设长、宽、高分别为由题意得.表面积由 得.当长方体的长、宽、高分别为时表面积最小.（此题也可以看作是在条件xyz=k下求S的最大值.）39、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体.解:设长、宽、高分别为由题意知，体积令拉格朗日函数：由方程组 得即内接于半径为的球的边长为的正方体体积最大.40、抛物面被平面截成一椭圆，求原点到椭圆的最长、最短距离.解: 设椭圆上点的坐标为，则原点到椭圆上这一点的距离平方为 其中要同时满足令拉格朗日函数：由方程组 ，解得 由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，而恰好找到两个可能极值点，所以距离最大值和最小值在这两点处取得.因 所以 为最长距离，为最短距离.。