2016浙江省宁波市“十校”高三联考数学(理)试卷-word版含答案.docx

2016年宁波市高三“十校”联考数学（理科）说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.台体的体积公式：，其中、分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高.球的表面积公式：,球的体积公式：，其中表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设,则“”是“” （ ▲ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2. 已知集合，，则集合且为 （ ▲ ）A. B． C． D． 俯视图正视图侧视图3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ▲ ）A． B. C. D. 4.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于 （ ▲ ）A． B． C． D．5．已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为奇函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是 （ ▲ ）A． B． C． D．6. 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（ ▲ ）A．若，则数列有最大项B．若数列有最大项，则C．若数列是递增数列，则对任意，均有D．若对任意，均有，则数列是递增数列7．已知为三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为 （ ▲ ）A. B. C. D. 8.已知函数,.若图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，则的取值范围为（ ▲ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.已知圆，则圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ . 10. 已知单调递减的等比数列满足：，且是的等差中项，则公比 ▲ ，通项公式为 ▲ . 11. 已知函数，则函数的最小值为 ▲ ， 函数的递增区间为 ▲ . 12. 已知实数，且点在不等式组表示的平面区域内，则的取值范围为 ▲ ，的取值范围为 ▲ . 13. 已知，且有，，则 ▲ . 14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为 ▲ . 15.如图，正四面体的棱在平面上，为棱的中点.当正四面体绕旋转时，直线与平面所成最大角的正弦值为 ▲ . 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在中，角的对边分别是，且向量与向量共线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且，求的长度.17．（本题满分15分）如图，三棱柱中，分别为和的中点，，侧面为菱形且，，．（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．18．（本题满分15分）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．已知函数.（Ⅰ）若，是“可等域函数”，求函数 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间为的“可等域区间”，求、的值.19．（本题满分15分）已知椭圆的左右顶点，椭圆上不同于的点, ,两直线的斜率之积为，面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的所有弦都不能被直线垂直平分，求的取值范围．20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列的前项和满足.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，数列的前项和为,求证：.2016年宁波高三“十校”联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9. ， 10.， 11. ， 12.， 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在中，角的对边分别是，且向量与向量共线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且，求的长度.解：（Ⅰ）与共线，在三角形中，……………………………………………………7分（Ⅱ）且即解得（舍）……………………………………………9分将和代入得：……………………………………………14分17．（本题满分15分）如图，三棱柱中，分别为和的中点，，侧面为菱形且，，．（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．z解：∵，且为中点，，∴ ，y又 ，x∴ ，又 ，∴平面， 取中点，则，即两两互相垂直，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图， ∴5分（Ⅰ）设平面的法向量为 ，则，，取， ∵ ，，∴ ，又平面， ∴直线∥平面． …… 9分（Ⅱ）设平面的法向量为，， ，， 取， 又由（Ⅰ）知平面的法向量为，设二面角为， ∵ 二面角为锐角，∴，∴ 二面角的余弦值为． ………… 15分18．（本题满分15分）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．已知函数.（Ⅰ）若，是“可等域函数”，求函数 的“可等域区间”；（Ⅱ）若区间为的“可等域区间”，求、的值. 解：（Ⅰ），是“可等域函数”，结合图象，由得函数 的“可等域区间”为 当时，，不符合要求（此区间没说明，扣1分）……………………7分（Ⅱ）因为区间为的“可等域区间，所以即当时，则得；…………………………10分当时，则无解；………………………………12分当时，则得.…………………………15分19．（本题满分15分）已知椭圆的左右顶点，椭圆上不同于的点, ,两直线的斜率之积为，面积最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的所有弦都不能被直线垂直平分，求的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得,，,两直线的斜率之积为的面积最大值为所以所以椭圆的方程为：…………………………6分（Ⅱ）假设存在曲线的弦能被直线垂直平分当显然符合题 …………8分当时，设，中点为可设：与曲线联立得：，所以得……（1）式…………………………10分由韦达定理得：，所以，代入得在直线上，得……（2）式…………………12分将（2）式代入（1）式得：，得，即且……14分综上所述，的取值范围为.20．（本题满分15分）设各项均为正数的数列的前项和满足.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，数列的前项和为,求证：.解：（Ⅰ）令，得，所以， ……………1分则，所以，两式相减，得， ……………3分所以，化简得，所以， ……………6分又适合，所以. ……………7分（构造常数列等方法酌情给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，不等式成立……………………………………10分（仅在时取等号）即结论成立………………………………15分（数学归纳法按步骤酌情给分）。