10(7.8)傅里叶级数_正弦_余弦级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,三角函数系的正交性,函数展开成傅里叶级数,小结 思考题 作业,(傅氏级数,Fourier series,),问题的提出,第七,-,八节 傅里叶(,Fourier,)级数,正弦级数或余弦级数,,,第十一章 无穷级数,1,,上一节详细研究了一种重要的函数项级数:,幂级数.,,下面研究另一种重要的函数项级数:,这种级数是由于,研究周期现象的需要而,产生,的.,它在电工、力学和许多学科中都有很,重要的应用.,傅里叶(Fourier,1768-1830),法国数学家和物理学家,.,法国科学院院士,英国皇家学会会员.,傅里叶,级数.,傅里叶,(Fourier),级数,2,,傅里叶,(Fourier),级数,,1757,年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,,,1759,年,拉格朗日在对声学的研究中也使用了,三角级数.,,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角,1777,年,欧拉在研究天文学的时候,,级数时的系数,,也就是现今教科书中傅里叶级数,的系数.,大胆地采用了,历史朔源,三角级数,表示函数:,3,,微分方程是分不开的.,析学的发展.,形所采用的三角级数方法进行加工处理,,1753,年,,的解表示为三角级数的形式,,这为函数的傅里叶,展开这个纯数学问题奠定了物理基础,,促进了分,在历史上,,丹,,贝努利首先提出将弦振动方程,1822,年,,傅里叶在《热的解析理论》一书中,对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，,特殊的情,发展成,一般理论.,三角级数的出现和发展,与求解,傅里叶,(Fourier),级数,4,,,,,,一、问题的提出,在自然界和人类的生产实践中,,周而复始,的现象,,周期运动是常见的.,如行星的飞转,,飞轮的旋转,,蒸气机活塞的,往复运动,,物体的振动,,声、光、电的波动等.,数学上,用周期函数来描述它们.,最简单最基本,的周期函数是,谐函数,周期,振幅,时间,角频率,初相,简谐波,简谐振动,正弦型函数,傅里叶,(Fourier),级数,5,,如矩形波,不同频率正弦波,除了正弦函数外,,常遇到的是,非正弦周期函数,,较复杂的周期现象,逐个叠加,分解,傅里叶,(Fourier),级数,6,,傅里叶,(Fourier),级数,7,,傅里叶,(Fourier),级数,8,,傅里叶,(Fourier),级数,9,,傅里叶,(Fourier),级数,10,,傅里叶,(Fourier),级数,11,,,设想,一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解,为简谐振动的迭加.,会给分析问题带来方便.,是把一个复杂的,周期函数,f,(,t,),反映在数学上,,的迭加,,表示为各类,正弦函数,谐波分析,或再利用三角恒等式,,变形为,即,傅里叶,(Fourier),级数,12,,三角级数,函数,f,(,t,) 满足什么条件,,系数,才能展为,如何确定?,为简便计,先来讨论以 为周期的函数,f,(,x,),,解决上述问题起着关键作用的是:,三角函数系的正交性,(orthogonality).,三角级数?,傅里叶,(Fourier),级数,13,,三角函数系,二、三角函数系的,正交性,的,正交性,是指:,其中任何两个,不同的函数的乘积,在一个周期长的区间,而任,一个函数的自乘(平方)在,即有,傅里叶,(Fourier),级数,orthogonality,14,,傅里叶,(Fourier),级数,15,,1.傅里叶系数,(Fourier coefficient),利用三角函数系的正交性,两边积分,傅里叶,(Fourier),级数,三、函数展开成傅里叶级数,16,,利用三角函数系的正交性,傅里叶,(Fourier),级数,17,,利用三角函数系的正交性,傅里叶,(Fourier),级数,18,,则,希望自己证明,傅里叶,(Fourier),级数,19,,傅里叶系数,由,这些,系数,作成的三角级数,傅里叶,(Fourier),级数,20,,称为函数,f,(,x,)(诱导出)的,傅里叶级数,,,f,(,x,),,,注,f,(,x,)的傅里叶级数不见得收敛；,即使收敛，,级数的和也不一定是,f,(,x,).,不能无条件的,下面的,傅里叶级数收敛定理,回答了我们.,所以,,把符号“,,”,它的傅里叶级数收敛，,记为,当,f,(,x,)满足什么条件时，,并收敛于,f,(,x,)本身.,换为“,=,”.,傅里叶,(Fourier),级数,21,,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,(收敛定理),狄利克雷(德)1805-1859,定义 若,只有有限个单调区间,,则称,逐段单调.,即,只有有限个极值点.,傅里叶,(Fourier),级数,22,,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,(收敛定理),傅里叶,(Fourier),级数,23,,傅里叶,(Fourier),级数,当,x,是,f,(,x,)的连续点时,当,x,是,f,(,x,)的间断点时,当 时,傅氏级数的和函数与函数,f,(,x,)的关系,由定理可知:,在,f,(,x,)的连续点处,,都收敛到,f,(,x,)自身,即使有间断点,函数也有傅氏级数,,间断点上级数不收敛到函数值,,只不过在,而是收敛到,间断点处左右极限的算术平均值,24,,(1),函数展开成傅里叶级数的条件比展开成,(2),周期函数的三角级数展开是唯一的,就是,常说把,f,(,x,)在 上展开成傅氏级数.,(3),要注明,傅氏级数的和函数与函数,f,(,x,)相等,注,幂级数的条件低,得,多;,其,傅里叶级数,,傅里叶,(Fourier),级数,的区域.,就是函数,在一个周期内的平均值,;,25,,解,可以将,f,(,x,)展开为傅氏级数.,因为,所以,,其傅氏级数在 处收敛于( ).,设函数,f,(,x,)以 为周期,且,傅里叶,(Fourier),级数,26,,周期函数的,傅里叶级数解题程序:,并验证是否满足狄氏条件,(画图目的: 验证狄氏条件;,由图形写出收敛域;,易看出奇偶性可减少求系数的工作量);,(2) 求出傅氏系数;,(3) 写出傅氏级数,,并注明它在何处收敛于,f,(,x,).,傅里叶,(Fourier),级数,(1) 画出,f,(,x,)的图形,,27,,解,,计算傅里叶系数,例1,傅里叶,(Fourier),级数,将,f,(,x,) 展开为傅里叶级数.,,f,(,x,) 的图象,28,,傅里叶,(Fourier),级数,29,,傅里叶,(Fourier),级数,故,f,(,x,)的傅里叶级数,30,,由于,f,(,x,)满足狄利克雷充分条件,,由,收敛定理,得,傅里叶,(Fourier),级数,31,,傅里叶,(Fourier),级数,32,,上有定义,;,(3),F,(,x,)可展为傅氏级数;,注,作 法,傅里叶,(Fourier),级数,对于非周期函数,,如果,f,(,x,)只在区间,上有定义,,并且满足狄氏充分条件,,也可展开成,傅氏级数.,(1),f,(,x,),在,(周期延拓);,级数收敛于,33,,解,例2,将函数,展开为傅氏级数.,拓广的周期函数,的傅氏级数展开式在,,计算傅里叶系数,傅里叶,(Fourier),级数,所给函数在区间,满足狄氏充要条件,,收敛于,f,(,x,).,34,,,偶函数,,奇函数,傅里叶,(Fourier),级数,35,,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,傅里叶,(Fourier),级数,36,,为周期的傅氏级数的,和函数,S,(,x,),在 上的,解,S,(,x,),=,傅里叶,(Fourier),级数,表达式.,例3,37,,1,.,周期为2l的周期函数,对于周期为2l的周期函数，可利用函数系,将它展开为Fourier级数，即有下列定理,傅里叶,(Fourier),级数,四、任意区间上的,Fourier,级数,38,,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,狄利克雷(德)1805-1859,(收敛定理),傅里叶,(Fourier),级数,39,,其中傅里叶系数,傅里叶,(Fourier),级数,若x为f的第一类间断点，则,40,,例,4,,将函数,展开成傅里叶级数,.,里叶级数,.,41,,42,,代入,(5),式,,,得,这里,,当,和,±,5,时级数收敛于,,43,,由奇函数与偶函数的积分性质,系数的公式,,易得下面的结论.,和傅里叶,此时称傅里叶级数为,(sine series),正弦级数,,傅里叶,(Fourier),级数,sine series and cosine series,五、正弦级数和余弦级数,它的傅里叶系数为,44,,此时称傅里叶级数为,注,将函数展为傅里叶级数时,,先要考查函数,是非常有用的.,是否有奇偶性,,(cosine series),余,弦级数,,傅里叶,(Fourier),级数,它的傅里叶系数为,45,,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,奇函数,傅里叶,(Fourier),级数,设,f,(,x,)是周期为 的周期函数,它在,例,5,上的表达式为,将,f,(,x,)展开成傅氏级数.,,f,(,x,)的图形,46,,傅里叶,(Fourier),级数,和函数图象,47,,正弦级数,傅里叶,(Fourier),级数,48,,傅里叶,(Fourier),级数,49,,,奇延拓,,偶延拓,两种:,正弦级数.,偶函数,,奇函数,,余弦级数;,傅里叶,(Fourier),级数,因而展开成,因而展开成,50,,上有定义.,作法,3.,F,(,x,)可展开为傅氏级数, 这个级数必定是,得到,f,(,x,)的,正弦级数,的展开式.,(偶函数),的,奇函数,正弦级数,(余弦级数),(余弦级数),注,其实也不必真正实施这一手续.,傅里叶,(Fourier),级数,满足收敛定理的条件,1.,f,(,x,)在,2. 在开区间,内补充定义,,得到定义在,上的函数,F,(,x,),,使它成为 在上,51,,解,(1),求正弦级数.,奇延拓,,正弦级数,分别展开成正弦级数和余弦级数.,例6,傅里叶,(Fourier),级数,52,,(2),求余弦级数,.,注,又可展成余弦级数,,既可展成正弦级数,,其傅氏级数不唯一.,余,弦级数,偶延拓,,傅里叶,(Fourier),级数,上有定义的函数,,但同一形式的展式是唯一的.,53,,展开成,(1),正弦级数,; (2),余弦级数,.,解,:,(1),将,f,(,x,),作,奇,周期延拓,,,则有,在,x,= 2,k,,处级数收敛于何值,?,例,7,,把,54,,作,偶,周期延拓,,,则有,(2),将,55,,说明,:,,此式对,也成立,,,由此还可导出,据此有,56,,基本概念,(三角级数、三角函数系的正交性),函数展开成傅里叶级数,(傅里叶系数、 傅里叶级数 、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和),傅里叶级数的意义 —— 整体逼近,傅里叶,(Fourier),级数,六、小结,函数,f,(,x,)在区间 展开为,傅里叶,正弦级数或余弦级数,特点：,问题明确，,解法固定,57,,思考题,傅里叶,(Fourier),级数,是非题,则必有,是,因为,即意味着所论的级数收敛于,f,(,x,).,由级数收敛的,必要条件知,由于,是,线性无关,的,,从而有,58,,作 业,习题10.7 (291页）,(A) 2. (1) 3.,傅里叶,(Fourier),级数,习题10.8 (297页）,(A) 4. 8.,59,,。