热环境下功能梯度圆柱壳振动特性分析.docx

    热环境下功能梯度圆柱壳振动特性分析    石先杰 左朋Summary 应用谱几何法研究了热环境下功能梯度圆柱壳自由振动和瞬态振动特性采用边界弹簧技术模拟圆柱壳结构的任意经典或者弹性边界约束条件，并结合一阶剪切变形理论建立了考虑温度场作用的功能梯度圆柱壳结构能量泛函采用谱几何法与周向傅里叶谐波函数乘积和的形式描述圆柱壳的位移容许函数，以克服不同边界条件下壳体位移函数微分在边界上存在的不连续问题在此基础上，将位移容许函数代入至结构能量泛函，并采用Ritz法获得结构振动分析模型数值分析结果表明，所构建分析模型能够快速准确预测功能梯度圆柱壳结构的振动特性研究了幂律指数、温度、载荷等参数对功能梯度圆柱壳振动特性的影响规律，为其他数值分析方法研究提供参考Key 自由振动; 功能梯度圆柱壳; 热环境; 谱几何法; 瞬态响应引 言功能梯度圆柱壳是一种材料特性沿一个或多个方向呈现连续梯度变化的多功能复合材料结构，这类结构通常由两种或者多种材料复合而成自20世纪80年代功能梯度材料概念被提出以来，国内外专家学者对功能梯度圆柱壳结构的动力学特性进行了广泛的研究，提出了一系列的分析方法，如波动法［1?2］、改进傅里叶级数法［3?6］、广义微分求积法［7］、幂级数法［8］、瑞利?里兹法［9?13］以及辛方法［14?15］等。

功能梯度材料的主要优点是具有良好的高温热承载能力，由其制成的圆柱壳结构通常被应用于服役条件恶劣的工程领域，例如航天飞行器舱体、热交换器管、聚变反应堆等离子体表面和发动机部件等国内外专家学者对热环境下功能梯度圆柱壳结构动力学特性开展了研究工作考虑到材料特性与温度环境的相关性，Haddadpour等［16］使用伽辽金方法求解了简支功能梯度圆柱壳自由振动特性Malekzadeh等［17?18］采用微分求积法研究了热环境下旋转功能梯度圆柱壳自由振动问题Zhang等［19］采用高阶剪切变形理论对功能梯度磁电热弹性圆柱壳进行了屈曲和振动特性分析Li等［20］利用特征正交多项式来求解功能梯度阶梯圆柱壳的热振特性综上所述，热环境下功能梯度圆柱壳振动特性研究已取得了一定成果，但大部分研究局限于自由振动，对于热环境下功能梯度圆柱壳的瞬态振动响应特性研究相对匮乏同时，现有研究工作大多考虑经典边界条件，弹性边界条件涉及较少而在实际工程应用中，复杂边界约束圆柱壳结构通常会受到各种形式的瞬态载荷作用，使得结构产生复杂的振动现象因此，研究圆柱壳瞬态振动特性可为其结构设计和振动控制提供有益的指导为此，采用谱几何法［21］和傅里叶谐波函数来描述圆柱壳结构位移容许函数，并引入辅助函数来消除结构边界处存在的位移容许函数微分不连续问题。

在此基础上，基于一阶剪切变形理论构建了考虑任意边界约束和热环境影响的功能梯度圆柱壳的自由振动和瞬态振动分析模型，并以文献解和有限元数值解为参考来验证所建立预测模型的准确性此外，还研究了功能梯度参数、边界条件以及温度场等参数对功能梯度圆柱壳瞬态振动响应的影响1 理论推导1.1 结构模型描述热环境下功能梯度圓柱壳结构模型如图1所示R，L和h分别表示圆柱壳的半径、长度和厚度；T为温度值正交坐标系（x，θ，z）位于圆柱壳结构的中面上，x，θ和z分别表示圆柱壳的轴向、周向和径向方向壳体在x，θ和z方向上的位移分别用U（x，θ，z，t），V（x，θ，z，t）和W（x，θ，z，t）表示，其中符号t表示时间变量此外，通过在圆柱壳结构两端均匀设置边界约束弹簧来模拟不同的结构边界约束条件，符号kbu，kbv和kbw表示约束圆柱壳平移位移的约束弹簧刚度，符号kbx和kbθ表示约束壳体旋转位移的约束弹簧刚度下标“0”和“L”分别代表圆柱壳x=0和x=L的端面文中所研究的功能梯度材料在热环境中具有温度依赖性，其材料属性P（包括弹性模量E、泊松比ν、质量密度ρ、热膨胀系数α）在温度T影响下有着如下的关系［16］：式中 P0，P?1，P1，P2和P3分别表示材料的温度相关系数。

用PI和PO来表示壳体内外表面的材料属性，则其在厚度方向z呈现梯度变化［22］：式中 p表示材料的幂律指数文中研究了均匀、线性和非线性三种温度分布用T0表示参考温度，则在均匀温度分布下的温度变化表达式为［23］：dT=T?T0，其中T0=300 K线性和非线性温度分布表示沿圆柱壳厚度方向温度是可以变化的，TI和TO分别表示结构的内部和外部温度值，则温度分布函数可描述为［22，24］：式中 κ为热导率1.2 能量方程及求解功能梯度圆柱壳结构位移场分量U=（U，V，W）T可描述为：式中 u=（u，v）T描述圆柱壳中表面上任意一点沿x和θ方向的平移位移分量；w为沿z方向的平移位移分量；φ=（φx，φθ）T为关于θ和x方向的旋转位移分量根据一阶剪切变形理论假设，圆柱壳结构应变和位移之间的关系为：式中 εx，εθ和εxθ为圆柱壳上任意一点的结构膜应变；γxz和γθz表示结构横向剪切应变；ε0，χ和γ0分别代表圆柱壳壳体中表面处的膜应变向量、曲率变化向量和横向剪切应变向量，它们可以由圆柱壳结构中面处的位移向量得到，参见文献［20］根据广义胡克定律，圆柱壳结构的应变和应力关系描述为：式中 σ为正应力向量；τ为切应力向量；Q5×5表示弹性常数矩阵，它是温度值T和厚度坐标z的函数，其详细描述可见文献［20］。

对应力在厚度方向进行积分，可以得到结构的合力向量N，合力矩向量M以及横向剪切应力向量Ns：式中 κ?表示剪切修正系数，在一阶剪切变形理论中，其值通常取为5/6将式（6）～（8）代入式（9），可以获得热环境下功能梯度圆柱壳结构的本构方程：式中 D8×8为刚度矩阵，具体表达式可见文献［20］根据建立的本构关系和Reference［19］，考虑热环境影响后功能梯度圆柱壳的应变能U?可描述为：同时，功能梯度圆柱壳的动能表达式T?可以根据方程（5）进一步表示为：相应地，存储在圆柱壳两端均匀布置的边界约束弹簧中的能量可表示为：假设外部激励荷载作用于圆柱壳的中面，外部激励载荷对圆柱壳所做的功可以表示为：式中 外部激励载荷向量f=（fu，fv，fw，mx，mθ）；fu，fv和fw分别表示沿x，θ和z方向的力分量；mx和mθ分别表示绕x和θ方向的力矩分量为了克服不同边界条件下壳体位移函数微分在边界上存在的不连续问题，文中采用谱几何法和傅里叶正余弦函数来表示圆柱壳沿轴向方向和周向方向的位移容许函数：式中 q=u，v，w，φx，φθ；λm=mπ/L；m和n分别为轴向和周向的半波数；Aq，bmn（b=c，s）为位移变量未知展开系数；Ap，b1ln（b1=c1，s1）为辅助函数的未知系数；ω表示固有频率；sin（λlx）代表在轴向积分域［0，L］内足够光滑的辅助函数。

综上所述，热环境下功能梯度圆柱壳结构的能量泛函可以表示为：在能量泛函基础上，结合圆柱壳结构位移容许函数进行求解，并采用Ritz 法对位移容许函数未知级数展开系数求偏导，可获得热环境下功能梯度圆柱壳的振动特征方程：式中 q表示圆柱壳的全局坐标向量；KC和KB分别代表结构刚度矩阵和边界弹簧的刚度矩阵，其中温度的变化会影响KC；M为结构的质量矩阵；F代表外界激励力向量矩阵，其中F=0时，式（17）简化为一个标准的特征值问题，可方便求解获取自由振动特性（固有频率及其对应的特征向量）2 振动求解与分析在上述构建的振动分析模型基础上，本节对热环境下功能梯度圆柱壳的振动（包括自由振动和瞬态振动）问题进行分析和讨论以在飞行器上有着广泛应用的功能梯度圆柱壳为例，设其尺寸为：R=1 m，h=0.1 m，L=5 m后续数值算例分析中，默认选择外表面材料为Si3N4、内表面材料为SUS304的功能梯度圆柱壳结构为研究对象，而功能梯度材料属性的温度相关系数可根据文献［24］获得文中研究算例包括自由（F）、简支（SS）、剪切（SD）和固支（C）等经典边界，以及E1，E2，E3，E4，E5和E6等弹性约束边界，它们均可通过修改相应的边界约束弹簧刚度值来获得，具体约束弹簧刚度值可Reference［3］选取。

此外，根据Reference［21］的研究结果，圆柱壳位移容许函数在轴向和周向上选取相同的截断数M=N=172.1 自由振动分析表1列出了热环境下C?C，C?F和SD?SD功能梯度圆柱壳前8阶固有频率材料的幂律指数p=0，圆柱壳的长度为L=4 m，其余参数与默认参数保持一致表1列出了dT=0 K，50 K两种温度变化条件下的计算结果，相应的文献解［20］也在表中列出通过对比可以看出，两种方法的计算结果吻合良好，但文中基于谱几何法所构建的位移容许函数形式简洁统一，便于参数化研究表2给出了具有不同幂律指数p=0.5，1的热环境下C?C，C?F和F?F功能梯度圆柱壳前5阶固有频率温度变化dT=50 K，圆柱壳的尺寸与默认参数保持一致有限元法仿真计算结果作为参考解也列在表2中从表2可以看出，文中计算结果与有限元法求解结果吻合良好，最大相对偏差不超过2%计算偏差主要来源于两者不同的理论框架以及求解算法综上所述，文中构建的分析模型可以有效、准确地预示热环境下功能梯度圆柱壳的自由振动特性2.2 瞬态振动响应分析继续研究热环境下功能梯度圆柱壳瞬态振动响应特性在数值分析前，对模型相关计算参数进行约定：1）文中用矩阵Lx=［l0，l1］和Lq=［fq0，fq1］来分别表示外界激励力作用的轴向和周向位置，而l0，fq0和l1，fq1分别表示相应方向上的起始和结束位置。

后续计算算例中默认的激励位置为Lx=［1，1］和Lq=［0，0］；2）矩阵f=（fu，fv，fw，mx，mθ）表示力的大小和方向，在后续瞬态振动响应计算中将其取为f=（0，0，-1，0，0）；3）文中采用（x，θ）來表达测点的位置，默认的测点为（2，0）；4）在瞬态振动问题研究中，瞬态振动响应计算时间范围默认取为0～0.02 s，外力作用时间为0.01 s除特别声明外，下面瞬态振动响应分析算例的参数均按上述默认参数设置图2给出了热环境下C?C功能梯度圆柱壳瞬态振动位移响应对比情况圆柱壳的尺寸取为默认尺寸参数，材料的幂律指数p=0.5，温度变化dT=0 K考虑了半正弦、矩形、三角形和指数四种脉冲类型，相应的数学表达式见文献［20］图2的对比结果表明，文中构建模型分析获得的瞬态振动位移响应特性与有限元法计算结果具有较好的一致性相较于有限元法，谱几何法的主要优势为：1）有限元法中通过对结构厚度方向划分足够数量的层数（文中取40层），各层需赋予不同的材料属性以获得较为可靠的功能梯度模型，而谱几何法中则采用精确的定积分来考虑功能梯度材料在厚度上的连续梯度变化，建模过程更为简单高效，其模型也更为精确；2）就边界处理而言，文中方法仅需修改边界约束弹簧的刚度值即可获得任意边界约束，而有限元法建模中需要在边界节点的各方向施加对应的边界弹簧，建模过程较繁琐，不利于参数化分析。

在验证了文中构建的瞬态振动分析模型的正确性和有效性的基础上，接下来分析特征参数对瞬态振动响应特性的影响为简化分析工作，在接下来的研究中采用的脉冲类型均为指数脉冲图3给出了材料幂律指数p对热环境下功能梯度圆柱壳瞬态振动响应特性的影响温度变化dT=0 K圆柱壳的边界条件为C?C，且考虑了h=0.05 m，0.1 m，0.15 m三种壳体厚度，其余尺寸为默认从图3中可以看出，p的增大使得瞬态振动响应特性曲线的峰值变高，而且出现明显向右移动的趋势这是由于p的增大将导致结构的材料属性更加接近于内表面的金属成分，使其弯曲刚度降低，进而提高了功能梯度圆柱壳在热环境下瞬态位移响应的振幅和振荡周期图4给出了不同边界条件对圆柱壳瞬态响应的影响除边界条件外，其参数与图。