离散型随机变量的期望教案新人教B版选修.doc

数学： 2.3.1 《离散型随机变量的期望》教案(新人教B版选修2-3 )2．3．1 离散型随机变量的期望 教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会 根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式"E (a E +b) =aEE +b"，以及"若E B (n,p )，贝U EE =np".能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之 美 , 体现数学的文化功能与人文 价值教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：2 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1. 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母 E 、n等表示2. 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以按一定 次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以取某 一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 : 离散型 随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果； 但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连 续性随机变量的结果不可以一一列出 若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属 性(离散型、连续型)5. 分布列:设离散型随机变量E可能取得值为x1 , x2,…x3， ... ，E取每一个值xi (i=1 , 2,...)的概率为，则称表E x1x2…xi...PP1P2…Pi...为随机变量E的概率分布，简称E的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴Pi >0, i = 1, 2,...;⑵ P1+P2+...=1 .7. 离散型随机变量的二项分布 : 在一次随机试验中,某事件 可能发生也可能不发生,在 n 次独立重复试验中这个事件发 生的次数 E 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发 生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是,(k = 0,1,2,…,n ,)•于是得到随机变量 E的概率分布如下：E O1...k…nP 称这样的随机变量 E服从二项分布，记作 E〜B(n , p)，其中n, p为参数，并记=b(k ； n, p) •8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事 件第一次发生时,所作试验的次数 E 也是一个正整数的离 散型随机变量． "" 表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次 发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为, P()=p , P()=q(q=1-p) ,那么(k = 0,1,2,… ,)•于是得到随机变量 E的概率分布如下： E 123...k...P 称这样的随机变量 E 服从几何分布 记作 g(k , p)=，其中 k = 0,1,2,… ,•二、讲解新课： 根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量 的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已 知某射手射击所得环数 E 的分布列如下E 45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均 环数•这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期根据射手射击所得环数 E的分布列，我们可以估计，在 n 次射击中，预计大约有 次得 4 环；次得 5 环； 次得 10 环．故在 n 次射击的总环数大约为从而，预计 n 次射击的平均环数约为这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射 击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数 E的分布列，即已知各个（ i=0 ， 1， 2， ... ， 10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数 :■ ■ ■ •1.均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量 E的概率分布为 E x1x2...xn...Pp1p2...pn...则称…… 为E的均值或数学期望，简称期望.2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反 映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量 E的概率分布中，令…，则有…，…，所以E的数学期望 又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，E是随机变 量，贝U n也是随机变量，它们的分布列为E x1x2...xn... n Pp1p2...pn... 于是 =……)……) =，由此，我们得到了期望的一个性质 :5. 若 E B(n,p )，则 EE =np证明如下：••• ，二 0X + 1X + 2X+ ... + kx+ ... + nx.… +—+ ... +—+ ... +.故若 E 〜B(n, p)，则 np.三、讲解范例：例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0分，已知他命中的概率为 0.7 ，求他罚球一次得分的期望 解：因为，所以例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个 选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答 案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100分 学生甲选 对任一题的概率为 0.9 ，学生乙则在测验中对每题都从 4个 选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验 中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数 分别是，则 ~ B（20,0.9 ）,, 由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩 分别是 5和 5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 例 3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25, 有大洪水的概率为 0. 01 ．该地区某工地上有一台大型设备， 遇到大洪水时要损失 60 000 元，遇到小洪水时要损失 10000 元．为保护设备，有以下 3 种方案： 方案 1：运走设备，搬运费为 3 800 元．方案 2：建保护围墙，建设费为 2 000 元．但围墙只能防小 洪水．方案 3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用 X1 、X2 和 X3 分别表示三种方案的损失． 采用第 1种方案，无论有无洪水，都损失 3 800 元，即 X1 = 3 800 .采用第 2 种方案，遇到大洪水时，损失 2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失 2 000 元，即同样，采用第 3 种方案，有于是，EX1= 3 800 ,EX2= 62 000X P (X2 = 62 000 ) + 2 00000XP (X2 = 2 000 )=62000 X 0. 01 + 2000 X (1 -0.01) = 2 600 ,EX3 = 60000 X P (X3 = 60000) + 10 000 X P(X3 =10 000 ) + 0X P (X3 =0)= 60 000 X0.01 + 10000 X0.25=3100 .采取方案 2 的平均损失最小，所以可以选择方案 2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较 "平均损失 "而得出的．一般地，我们可以这样来理解 "平均损失 " ：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最 小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所 以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的． 例 4. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望 解：T,=3.5例 5. 有一批数量很大的产品，其次品率是 15%，对这批产品进行抽查，每次抽取 1 件，如果抽出次品，则抽查终止，否 则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过 10 次 求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字)解：抽查次数取 110 的整数，从这批数量很大的产品中抽出1 件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15 ，取出正品的概率是 0.85 ，前次取出正品而第次（ =1，2， ... ，10）取出次品的概率：（ =1，2，... ， 10）需要抽查 10次即前 9 次取出的都是正品的概率：由此可得的 概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660. 04810.04090.2316根据以上的概率分布，可得的期望例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 E的数学期望．解：抛掷骰子所得点数 E的概率分布为E 123456P所以1X + 2X + 3X + 4X + 5X + 6X=（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6） X = 3.5 .抛掷骰子所得点数 E 的数学期望，就是 E 的所有可能取值 的平均值．例 7. 某城市出租汽车的起步价为 10 元，行驶路程不超出 4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加 收2元计费（超出不足lkm的部分按lkm计）.从这个城市的 民航机场到某宾馆的路程为 15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程 (这个城市规定，每停车 5分钟按 lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程 E是一个随机变量.设他所收租车费为 n(l) 求租车费n关于行车路程E的关系式；(II)若随机变量 E的分布列为 E 15161718P0.10.50.30.1 求所收租车费 n 的数学期望.(m) 已知某旅客实付租车费 38元，而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟 ？解：(I)依题意得 n =2( E -4)十 10,即 n =2E +2；(l)n =2 E +2••• 2E E +2=34.8 (元)故所收租车费 n 的数学期望为 34.8 元.(m) 由 38=2 E +2,得 E =18, 5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多 15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有 5只球,编号为 1, 2, 3, 4, 5,从中任取 3球,以表示取出球的最大号码,则()A. 4；B. 5；C. 4.5；D. 4.75 答案： C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7， 求⑴他罚球1次的得分E的数学期望；⑵他罚球2次的得分n的数学期望；⑶他罚球3次的得分E的数学期望.解：⑴因为，，所以1X + 0X⑵n的概率分布为 n 012P所以 0X + 1X + 2x= 1.4 .⑶E的概率分布为E01 23P所以 0 x + 1X + 2X= 2.1.3.设有m升水，其中含有大肠杆菌 n个.今取水1升进行化 验，设其中含有大肠杆菌的个数为 E,求E的数学期望.分析：任取 1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事 件"E =k"发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由 n次独立重复实验中事件 A (在此升水中含一个大肠杆菌)恰 好发生 k 次的概率计算方法可求出 P(E =k), 进而可求 EE . 解：记事件 A： "在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌 "，则 P(A)=.P( E =k)=Pn(k)=C)。