6.2 定积分的几何应用 (1)面积.ppt

December 20046.2 定积分的应用Applications of Definite IntegralsDecember 2004一、平面图形的面积Areas between Curves December 20041. 直角坐标情形December 2004面积问题可以不用微元法，用定积分的几何意义即可1）设由定积分的几何意义：由 y=f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲边梯形的面积 A 等于：曲线 y=f(x) 下方的面积 December 2004面积微元：December 2004（2）设 f(x) 任意由 y=f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的图形的面积 ：December 2004（3）设 由 y = f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围成的图形的面积 ：口诀：函数大减小，积分左到右高等数学学习手册162页，表6.1.1 (有误)December 2004函数是否为正，则无关紧要往上平移December 2004（4）设 f(x), g(x) 任意 由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围成的图形的面积 ：December 2004（5）设由定积分的几何意义：由 x = f(y), x=0, y=c, y=d 所围成的曲边梯形的面积 ：详细的面积计算公式（直角坐标）见高等数学学习手册162页，表6.1.1December 2004解两曲线的交点面积元素选 为积分变量December 2004例求由所围成的平面图形的面积.解作图求交点December 2004with(plots):xzou:=implicitplot(y=0,x=0.3,y=-0.2.0.2):yzou:=implicitplot(x=0,x=-0.2.0.2,y=0.5):quxian:=plot(sin(x),sin(2*x),x=0.Pi,y=-1.1,thickness=4):display(xzou,yzou,quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);December 2004例求由所围成的平面图形的面积.解作图求交点顶点：with(plots):xzou:=implicitplot(y=0,x=0.3,y=-0.2.0.2):yzou:=implicitplot(x=0,x=-0.2.0.2,y=0.3.5):quxian:=implicitplot(y-1)2=1+x,y=x,x=-1.2.3.5,y=-1.3.5,thickness=4):display(xzou,yzou,quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);December 2004方法一很麻烦！December 2004方法二很简单！December 20042. 参数方程设曲线方程由参数方程给出：x(t) 是 t 的增函数则由曲线 x = x(t), y = y(t), x轴，x = a, x = b 所围成的图形的面积 ：见高等数学学习手册163页，6.1.3节December 2004例 3求椭圆12222=+byax的面积解方法一由对称性知总面积等于4倍在第一象限部分面积with(plots):xzou:=implicitplot(y=0,x=-2.2,y=-0.2.0.2):yzou:=implicitplot(x=0,x=-2.0.2,y=-1.2.1.2):quxian:=implicitplot(x2/3+y2=1,x=-2.2,y=-2.2,thickness=4):display(xzou,yzou,quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);December 2004方法二椭圆的参数方程December 20043. 极坐标方程设曲线方程由极坐标方程给出：由围成一个曲边扇形求曲边扇形的面积 ADecember 2004作为弥补：见高等数学学习手册355页，附录A.4.4节：极坐标 有极坐标知识和若干常用图形的极坐标方程（或见教材345页）听说中学已经将极坐标的内容砍掉了？听到这个消息我们大学老师感到很悲哀、很难过、也很无奈。

这可是一个严重的错误！必须立即纠正！没有极坐标，我们将失去很多漂亮的 曲线December 2004注意：教材用的是 直角坐标与极坐标的关系December 2004直角坐标极坐标圆December 2004直角坐标极坐标圆或December 2004直角坐标极坐标圆或December 2004其他用极坐标表示的图形见高等数学学习手册355页，表A.4.4或 教材 345-346页December 2004用微元法导出面积微元 dA曲边扇形的面积 December 2004December 2004详细的面积计算公式（极坐标）见高等数学学习手册163页，表6.1.2December 2004例 5 求心形线所围成的图形的面积：解 作图December 2004with(plots):a:=1.3:plot(a*(1+cos(t),t=0.2*Pi,coords=polar,thickness=5);。