圆锥曲线地综合问题-分题型整理.doc

word圆锥曲线的综合问题★知识梳理★将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x〔或y〕的方程〔1〕交点个数①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;(2) 弦长公式：2.对称问题：曲线上存在两点关于直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与直线垂直〔得出斜率〕②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点〔⊿>0〕③曲线上两点的中点在对称直线上①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法与弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关X围与最值难点：轨迹方程的求法与圆锥曲线的有关X围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题“设而不求〞在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求②弦中点问题用“点差法〞设而不求2.体会数学思想方法〔以方程思想、转化思想、数形结合思想为主〕在解题中运用问题1：点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，如此的最小值为 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。

当共线时最小，最小值为★热点考点题型探析★考点1 直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线的准线与x轴交于点Q，假如过点Q的直线与抛物线有公共点，如此直线l的斜率的取值X围是〔　　〕A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法[解析] 　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)，于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为，联立其判别式为，可解得 ，应选C.【名师指引】〔1〕解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法〔2〕直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴〔抛物线〕或平行于渐近线〔双曲线〕〔3〕联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进展讨论，还要对二次项系数是否为0进展讨论【新题导练】1圆与抛物线的准线相切，如此的值等于〔 〕A． B． C． D．上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线的方程；(2)求m的取值X围.3. 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.题型2：与弦中点有关的问题[例2]点A、B的坐标分别是，.直线相交于点，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;(Ⅱ)假如过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法〞或联立方程组，利用韦达定理求解[解析] (Ⅰ)设，因为,所以化简得:(Ⅱ) 设当直线⊥x轴时,直线的方程为,如此,其中点不是N,不合题意设直线的方程为将代入得…………(1) …………(2) (1)-(2)整理得:直线的方程为 即所求直线的方程为解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,如此,其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,将其代入化简得由韦达定理得,又由N为线段CD的中点,得,解得,将代入(1)式中可知满足条件.此时直线的方程为,即所求直线的方程为【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求〔即点差法〕的关键．两种解法都要用到“设而不求〞，它对简化运算的作用明显，用“点差法〞解决弦中点问题更简洁【新题导练】1. 椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程2. 直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率题型3：与弦长有关的问题 [例3]直线被抛物线截得的弦长为，为坐标原点．〔1〕某某数的值；〔2〕问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？【解题思路】用“韦达定理〞求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件 [解析]〔1〕将代入得， 由△可知， 另一方面，弦长AB，解得； 〔2〕当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，如此只须使得，即，即位于〔4，4〕点处． 【名师指引】用“韦达定理〞不要忘记用判别式确定X围【新题导练】1. 椭圆与直线相交于两点．〔1〕当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；〔2〕在〔1〕的条件下，求弦的长度；和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．考点2：对称问题 题型：对称的几何性质与对称问题的求法〔以点的对称为主线，轨迹法为根本方法〕 [例4 ] 假如直线过圆的圆心M交椭圆=1于A、B两点，假如A、B关于点M对称，求直线L的方程．[解析]，设，如此又，，两式相减得：，化简得，把代入得故所求的直线方程为，即所以直线l的方程为：8x-9y+25=0.【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求X围【新题导练】1. 抛物线上有一内接正△AOB，O为坐标原点.求证：点A、B关于x轴对称；2在抛物线上恒有两点关于直线对称，求k的取值X围.2. 假如抛物线，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，某某数a的X围.考点3 圆锥曲线中的X围、最值问题题型：求某些变量的X围或最值 [例5]椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且〔为坐标原点〕时，求椭圆长轴长的取值X围．【解题思路】通过“韦达定理〞沟通a与e的关系 [解析]由，得由，得此时由，得，∴即，故由，得∴由得，∴所以椭圆长轴长的取值X围为【名师指引】求X围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征与意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．【新题导练】1. P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，假如|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值X围。

2. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标． 3直线m：y=kx+1和双曲线的左支交于A，B两点，直线过点P〔-2，0〕和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值X围．4椭圆，A〔4，0〕，B〔2，2〕是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：〔1〕求的最小值；〔2〕求|PA|+|PB|的最小值和最大值．y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求〞的方法而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边〔当三角形“压扁〞时，两边之和等于第三边〕的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出考点4 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点与图形〔点〕在变化过程中存在不变量[例6] P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。

求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列〞找出两动点间的坐标关系证明：设知同理①当，从而有设线段PQ的中点为，得线段PQ的中垂线方程为②当线段PQ的中垂线是轴，也过点【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：〔1〕从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点〔值〕与变量无关;〔2〕直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点〔定值〕．【新题导练】，如此抛物线C恒过定点________________ 2 试证明双曲线－=1〔a＞0，b＞0〕上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.3. 设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，C在抛物线上，且BC//x轴证明直线AC经过原点O 　　　　　考点5 曲线与方程题型：用几种根本方法求方程[例1]抛物线C：，假如椭圆左焦点与相应的准线与抛物线C的焦点F与准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程［解析］由抛物线,得焦点,准线(1)设，如此,椭圆中心,如此∶=,又设点B到l的距离为,∶=,∴∶=∶,即,化简得P点轨迹方程为[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，此题用到直接法，但题目条件需要转化【新题导练】上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，如此点M的轨迹方程是_____________.2. 过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．3 动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；4.抛物线C的对称轴与轴平行，顶点到原点的距离为5.假如将抛物线C向上平移3个单位，如此在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半；假如将抛物线C向左平移1个单位，如此所得抛物线过原点，求抛物线C的方程. / 。