直线倾斜角和斜率93835.doc

典型例题一典型例题一例例 1 求经过两点 A(2，1)，B(m，2)(mR)的直线 的斜率，并求出其倾斜角及其取值l 范围．分析：分析：斜率公式成立的条件是，所以应先就 m 的值是否等于 2 进行讨论．21xx 解：解：当 m=2 时，Q221 xx∴直线 垂直于轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角=．lx2当 m2 时，k＝21 m当 m＞2 时，＞0 此时＝arctan（０，） ．k21 m2当 m＜2 时，＜0 此时＝+arctan（，） ．k21 m2说明：说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法．典型例题二典型例题二例例 2 已知两点 A(-3，4)，B(3，2)，过点 P(2，－1)的直线 l 与线段 AB 有公共点．（1）求直线 l 的斜率的取值范围． （2）求直线 l 的倾斜角的取值范围． 分析：分析：如图 1，为使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB 的倾斜角与直线 PA 的倾斜角之间，所以，当 l 的倾斜角小于 90°时，有；当 l 的倾PBkk 斜角大于 90°时，则有．PAkk 解：解：如图 1，有分析知＝－1，QPAk23) 1(4 ＝3．PBk23) 1(2 ∴ （1）或．1k3k（2）arctan3．43说明：说明：学生常错误地写成－1k3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在 上单调递增．, 0典型例题三典型例题三例例 3 判断下列命题是否正确： ①一条直线 l 一定是某个一次函数的图像；O图 1AByxP②一次函数的图像一定是一条不过原点的直线；bkxy③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的 方程； ④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这 个方程的直线．解：解：①不正确．直线，不是一次函数；02 x②不正确．当时，直线过原点．0bxy2③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，0yxyx但此方程不是第一、三象限角平分线的方程④不正确．以方程 ()的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，xy 0x 但 此直线不是方程 ()的图像．xy 0x 说明：说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件．典型例题四典型例题四例例 4 设直线的斜率为 k，且，指出直线倾斜角的范围．333k分析：分析：倾斜角与斜率有关，根据公式和正切函数的单调性，由斜率的范围tank 可以得到倾斜角的范围，可以画图，利用数形结合来帮助解决问题．解：解： ，由已知得 ．Qtgak 33tan3a，．, 0Q ,32 6, 0U∴ 直线的倾斜角的范围是． ,32 6, 0U说明：说明：注意正切函数在范围的单调性，最好结合图形，不容易出错．, 0典型例题五典型例题五例例 5 已知两点 A(－1，－5)，B(3，－2)，直线 l 的倾斜角是直线倾斜角的一半，AB 求直线 l 的斜率． 解解 1：：设直线 l 的倾斜角为，则直线的倾斜角为 2ABtan2＝＝，QABk) 1(3)5(2  43∴＝．2tan1tan2 43化简得 3tan2+8tan－3＝0，解得 tan＝ 或 tan＝－3．31tan2＝＞0，Q43∴ 0°ba mbma  ba证明：证明：如图 2， 在坐标平面上取点 A(m，m)，B(a，b)，则 AB 的中点为 C(，)．2ma  2mb 显然 OA、OB、OC 的斜率满足，OAOCOBkkk又 OBk，，1．baOCkmbma OAk所以 >．mbma  ba说明说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生 对解析法的理解．同时本题为构造性证明，不易想到．事实上，把分式看成斜率是常用的 方法．典型例题七典型例题七图 2BCOxyA例例 7 设直线 过原点，其倾斜角为，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°，ll得到直线，则直线的倾斜角为（ ） ．1l1lA． B． C．45135135 D．当时为，当时为135045180135135分析：分析：倾斜角的范围是，因此，只有当，即 180,0180,045时，的倾斜角才是．而，所以必须讨论13501l451800的情况，结合图形和倾斜角的概念，即可得到时的倾斜角1801351801351l为．故应选 D．135 答案：答案：D 说明：说明：在求直线的倾斜角时，应该重视的是：(1)注意角的取值范围；(2)数形结合是一 种常用而有效的方法．典型例题八典型例题八例例 8 若三点，，共线，求的值．A)3, 2(B)2, 3(C),21(mm分析：分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．解答：解答：由、、三点共线，则．ABCACABkk∴，解得． 2213 2332m 21m说明：说明：由三点共线求其中参数的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公m 式，面积公式等，但用斜率公式求的方法最简便．m典型例题九典型例题九例例 9 (1)直线 过点和点，求 的斜率和倾斜角；l) 1, 2(A)5,6(Bl(2)若直线过，两点，且，求此直线的倾斜角．)0, 0(O)sin,(cosH02(3)已知直线 过点和，求 的倾斜角和斜率．l)2, 1 (A)3,(aBl分析：分析：(1)中直线 上两点与均为已知点，故 是确定的，其斜率和倾斜角自然也lABl是确定的，直接利用斜率公式求解即可；(2)中的直线 上的点是已知的，点的横纵坐lOH 标与角有关，应注意条件中地取值范围；(3)中的直线 上的点是已知的，而点的lAB 横坐标不确定，它的取值将影响直线的斜率及倾斜角，应对类讨论，以直线 的斜率是al 否存在为分类的标准．根据倾斜角和斜率的概念进行求解． 解：解：设直线 的斜率为，倾斜角为．lk(1)∵直线 过点和点，l) 1, 2(A)5,6(B∴它的斜率．21 )2(6) 1(5k于是．021tan∵，，  0,2)21arctan(, 0∴ 的倾斜角，l)21arctan(即：．)21arctan((2)因为，所以．所以斜率：020cos．)tan(tancossink因为，所以．022 所以，直线的倾斜角为． (3)当时，直线 与轴垂直．所以，倾斜角， 没有斜率．1alx90l当时，斜率．1a11 123 aak若，则；1a11arctana若，则．1a11arctana因此，当时，，直线没有斜率．1a90当时，，．1a11arctana11 ak当时，，．1a11arctana11 ak说明：说明：由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围是．当倾斜角不是特殊角, 0而必须用反正切表示时，应注意．2arctan2a(1)当直线的倾斜角是时，斜率是．但反过来，当直线的斜率是)90(tan时，直线的倾斜角不一定是．tan(2)在用公式时，要注意两点：1212 xxyyk①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠 倒．②当，（即直线和轴垂直）时，不能用此公式，此时倾斜角是，21xx 21yy x90直线没有斜率． (3)解答本题易出错的地方是对参数未进行讨论或讨论不完整．。