穿根法解不等式的原理.doc

穿根法解不等式的原理、环节和应用范例摘要：本文通过论述穿根法解不等式的原理、环节和应用范例，尝试对其进行系统性的论述在原理层面，提出该措施中不等式的原则形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并简介如何使用穿根法体现此规律；在环节层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作环节进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步呈现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项论文最后概括阐明了穿根法的特性和实用意义核心词：穿根法；解不等式；原理；环节；应用穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用措施，特别在解简朴高次不等式时，始终居于主流地位然而，该措施目前尚未进入中学正式教材，在诸多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，论述不清，建构模糊现结合中学一线教学经验，通过论述其原理、环节和应用范例，尝试对其进行系统性的论述一、 原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 （或<0）的原则形式，重要考察f(x)的符号规律。

在穿根法中我们引入序轴的概念序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只规定在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可一） 一次不等式原则形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是不小于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是不不小于x1的点，即是x-x1<0的解因此可以如图标注，图中+、- 用以表达f(x)=x-x1的符号我们还可以以动态的思想来考察该问题当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论二） 二次不等式原则形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或<0）(1) x1≠x2时，不妨设x10，处在(x1,x2)内的点满足f(x) <0当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，因此有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，因此f(x)又一次变号，此时由负变正。

总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时显然，(-∞,x1)与( x1 ,+∞)都是f(x) >0的解而若动态的考察此问题，则有点x=a 从x1右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的x-x1由正到0又到负，因此f(x)经历了由正到0又回到正的过程故而f(x)在x1两侧符号同正，只有在x=x1处为0三） 高次不等式原则形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 （或<0），x1≤x2≤……≤xn(1) x10；而当点x=a从xn右侧移动到左侧时，x-xn符号变化，而其他任一x-xi均不变号，因此有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从xi右侧移动到左侧时，x-xi符号变化，而其他每个x-xj (j≠i)都不变号，因此有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正就这样，由于每过一种xi都恰有一种因式x-xi变号，因此我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。

2) x1≤x2≤……≤xn且有等号成立时其原则形式可写为f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-xn) mn >0 （或<0），x10，其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的环节如下：（1）整顿——原式化为原则型 把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2…(x-xn) mn >0（或<0），mi∈N* (i=1,2,…,n)（2） 标根——在序轴上标根 将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。

3） 画线——画穿根线 从最大根右上方开始，按照大小顺序依次通过每个根画一条持续曲线，作为穿根线遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”4） 选解——写出解集 如例图，在序轴上方的曲线相应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线相应的区间为f(x)<0解集二） 分式不等式一、先将不等式整顿成f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的形式，其中，f(x)、g(x)为整式二、f(x)/g(x)>0 f(x)·g(x)>0 f(x)/g(x)<0 f(x)·g(x) <0即将分式不等式转化为整式不等式再解决三） 含等号的整式、分式不等式对于整式不等式，要注意写解集时将各个根涉及进去一般只需将开区间符号改为闭区间符号，同步注意必要时合并区间对于分式不等式，特别要注意分母非0 f(x)/g(x)≥0 f(x)·g(x)≥0 且 g(x)≠0 f(x)/g(x)≤0 f(x)·g(x)≤0且 g(x)≠0这样就规定在标根时，将可以使不等式成立的根标为实点，否则标为虚点四） 注意分式不等式和高次不等式在化简时每一步变形都应是不等式的等价变形对于变形中浮现的形如x2+px+q=0的因式，若其△≥0，则继续分解。

若△<0，则直接消去，由于此时该式恒不小于0三、 应用范例例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0具体环节：1 将(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根记入演算数据区其中，由于1是偶次根，在其下加一点以区别于其他奇次根2 画有向直线作为序轴，在序轴上由小到大、由左到右标根每标一根，在数据区相应根下打一标记表达已取标偶次根时，在序轴该根位置上方或下方加一点，即偶次根标重（cong）点3 从最大根2的右上方开始画穿根线，一方面让线穿过根2，当接着到1时，由于1是偶次根，附近有重点，故线被弹回然后线又依次穿过根-1和-44穿根线与序轴围成的区域，序轴上方标“+”号，表达f(x)在该区间取正值序轴下方标“-”号，表达f(x)在该区间取负值5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均标上虚点6 写出解集，一般用区间方式列出解：用穿根法作图如右，可知原不等式解集为：(-∞,-4)∪(-1,1)∪(1,2)例2 解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)≤0解：用穿根法作图如右注意“奇穿偶回”，每个根都标为实点 可知原不等式解集为：(-∞,-2]∪{-1}∪[1,2]阐明：也可将原不等式转化为(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0后来，再用穿根法做。

例3 解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120解：将原不等式变形：[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]-120>0(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0(x2-5x)2+10(x2-5x)-96>0(x2-5x+16)(x2-5x-6)>0(x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0 ∵x2-5x+16恒不小于零，于是得与原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)>0对此也可用穿根法解决，如图因此，原不等式的解集是：(-∞,-1)∪(6,+∞)例4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) ≤2解：原不等式 (3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)≤0 (2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)≥0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)≥0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)≥0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)≥0 且 (x+3)(x-1)≠0 如图，用穿根法，注意辨别实点和虚点，可得原不等式解集为：(-∞,-3)∪[-1，1/2]∪(1,+ ∞)例5 解有关x的不等式：(x-1)(x-t)<0解：1) t<1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(t,1) 2） t=1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：3） t>1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t)例6 若a≠±1，解有关x的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)≤0解：1) a<-1时，如图用穿根法，∴原不等式解集为：(-∞,a)∪(-1,1)2） -11时，如图用穿根法，∴原不等式解集为：(-∞, -1)∪(1, a]阐明：解整式、分式不等式注意事项，可记如下口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。

四、 小结穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志，形象的表达f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)值的符号变化规律，较好体现了数形结合的思想，具有直观明晰的长处它尚有数轴标根法、区间法，根轴法等名称，但相对来说，用“序轴标根法”作为学名比较确切，简称为“穿根法”较为形象此措施通用性强，思想措施灵活独特、易于领略它重要用于解一元高次不等式和分式不等式，对于一元一次、二次不等式，也同样合用系统地理解领略此措施的原理应用、来龙去脉，对于学生提高数学思维素质和解题水平，具有重要意义。