初二数学梯形中常用的辅助线例题(修改版).doc

1梯形中的常用辅助线梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线， 把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题本文举例谈 谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用一、平移一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把 梯形转化为一个三角形和一个平行四边形梯形转化为一个三角形和一个平行四边形［例［例 1］］如图 1，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC 的取值范围图 12、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两 腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中［例［例 2］］如图 2，在梯形 ABCD 中， AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 EF，求 EF 的长图 2【变式 1】（延长两腰）如图，在梯形（延长两腰）如图，在梯形中，中，，，，，、、为为、、的的 中点3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线， 将已知条件转化到一个三角形中。

将已知条件转化到一个三角形中［例［例 3］］如图 3，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD25图 3【变式 2】（平移对角线）已知梯形 ABCD 的面积是 32，两底与高的和为 16，如果其中一条对角线与两底垂 直，则另一条对角线长为_____________［例［例 4］］如图 4，在梯形 ABCD 中， AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD 的面积图 4二、延长二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形［例［例 5］］如图 5，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求 CD 的长2图 5【变式 3】如图所示，四边形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形 ABCD 的形状，并 证明你的结论. A AB BC CD D三、作对角线三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形即通过作对角线，使梯形转化为三角形［例［例 6］］如图 6，在直角梯形 ABCD 中， AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD 于点 E，求证： AD=DE。

图 6四、作梯形的高四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线， 把梯形转化为直角三角形或矩形把梯形转化为直角三角形或矩形［例［例 7］］如图 7，在直角梯形 ABCD 中， AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线 AC 的 BD 交 点为 F，过点 F 作 EF//AB，交 AD 于点 E，求证：四边形 ABFE 是等腰梯形图 72、、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的 垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形［例［例 8］］如图 8，在梯形 ABCD 中，AD 为上底， AB>CD，求证：BD>AC图 8五、作中位线五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线已知梯形一腰中点，作梯形的中位线［例［例 9］］如图 9，在梯形 ABCD 中，AB//DC，O 是 BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD图 9【变式 4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位 线）已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠DCB 的平分线过 AB 的中点 E．求证：DC=AD+BCA AB BC CD DE E32、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一 条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形 中位线。

中位线［例［例 10］］如图 10，在梯形 ABCD 中，AD//BC，E、F 分别是 BD、AC 的中点，求证：（1）EF//AD；（2）)ADBC(21EF图 103、、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的等的三角形达到解题的目的例 11、在梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接 AE 和 BE，求∠AEB=2∠CBE变式 5】如图，E 是梯形 ABCD 中腰 DC 上的中点，类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形 中位线有关系）中位线有关系）例例 1 1、已知：如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形ABDE 为等腰梯形，求证求证：举一反三：举一反三：【变式 1】如图，已知：在梯形 ABCD 中，，AC、BD 相交于点 O. 求证求证：. 【变式 2】如图 2-43 所示．在直角三角形 ABC 中， E 是斜边 AB 上的中点，D 是 AC 的中点，DF∥EC 交 BC 延长线于 F．求证：四边形 EBFD 是等腰梯形．4具体做法总结如下：具体做法总结如下：【【模拟试题模拟试题】】（答题时间：40 分钟）1. 若等腰梯形的锐角是 60°，它的两底分别为 11cm，35cm，则它的腰长为__________cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形 的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22A AB BC CD D**3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯 形 ABCD 的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160 A AB BC CD DE E*4. 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC， 对角线 AC 与 BD 互相垂直，且 AD＝30，BC＝70，求 BD 的长. A AB BC CD D5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60°，它的两 底分别为 15cm 和 49cm，求它的腰长. A AB BC CD D6. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC 于 E，求 DE 的长. A AB BC CD DE E7. 如图所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求 AB 的长. A AB BC CD D**8. 如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，（1）若 E 是 AB 的中点，且 AD＋BC＝CD，则 DE 与 CE 有何位置 关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则 DE 与 CE 有何位置关系？A AB BC CD DE E9 9、如图 2-46 所示．直角梯形 ABCD 中，∠C=90°， AD∥BC，AD+BC=AB，E 是 CD 的中点．若 AD=2，BC=8，求△ABE 的面积．作法图形平移一腰，转化 为三角形、平行 四边形A AB BC CD DE E作高，转化为两 直角三角形和一 矩形A AB BC CD DE EF F延长两腰，转化 为三角形A AB BC CD DE E平移一对角线， 转化为三角形、 平行四边形A AB BC CD DE E连接一顶点与一 腰的中点，构造 全等三角形A AB BC CD DE E F F5。