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陈忠辉 福州大学 土木工程学院 2009.2,交通土建工程软件分析,,第一章 平面杆系有限元法,本课程的概述,1.本课程在交通土建工程中的地位 2.学习本课程需预先掌握的知识 3.本课程为后续课程及毕业设计服务 3.本课程的组成 理论 实践(上机) 4.学习本课程的注意点,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,§1.1 引 言 手算与电算方法之比较: 手算：力求简化方法，近似处理 电算：力求标准化，规一化,第一章 平面杆系有限元法,土建结构计算机分析的程序设计一般概念 程序设计：将求解问题的公式与计算过程按算法语句标准编写成机器可以运行的一个源程序 程序设计的基础与关键问题，对分析方法，计算方法的充分理解是：编制程序的算法设计是程序设计的组成部分是关键第一章 平面杆系有限元法,,1.引例:如下图，求解节点3位移,,第一章 平面杆系有限元法,引例,以整体坐标计，结构的节点3受 到 的节点力，发生 的位移第一章 平面杆系有限元法,引例(单元1),以局部坐标计，以①杆件为 轴，节点1至3方向为正，则节点3 在 方向的位移有： 杆件轴力为： 右图中位移箭头方向为正，轴力拉为正,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,引例（单元1）,以整体坐标计，①杆件的受力为： 单 元 ①,,,,,,,在整体坐标中为负,第一章 平面杆系有限元法,在 方向的位移有： 轴力： 单 元 ②,引例（单元2）,,,,,,,在整体坐标中为负,在整体坐标中为负,第一章 平面杆系有限元法,引例（综合）,整理得： 单 元 ① 单 元 ②,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,引例（综合）,矩阵形式： 单 元 ① 单 元 ②,,,,,,,,,,,单元刚度方程,单元刚度矩阵,第一章 平面杆系有限元法,引例（整体分析）,取节点3力的平衡，得： 即： 将单元分析结果代入：,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,引例（整体分析）,即： 则有：,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,以整体坐标计，结 构的节点3受到 的节点力，发生 的位移，求解 。

引例（作业）,,,第一章 平面杆系有限元法,§1.2 单 元 分 析,一、单元刚度矩阵: 单元刚度矩阵即用杆端位移表示杆端力的系数矩阵 以下根据结构力学的转角位移方程与材料力学的轴力计算公式来推导平面杆单元在局部坐标下的刚度矩阵：,第一章 平面杆系有限元法,结构力学公式1:,,,,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,结构力学公式2:,,,,,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,结构力学公式3:,,,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,矩阵表示,写成矩阵形式（按分量顺序排列）：,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,用矩阵表达式写成： 其中矩阵[KE]6×6 就是单元 在局部坐 标系里的单元刚度矩阵求解[KE]的DYK子程序见书上P21:“SUBROUTINE DYK（k）“,,第一章 平面杆系有限元法,二、局部坐标和整体坐标,1．局部坐标：如右图杆e（任意杆，左端点号i，右端点号j），取杆左端点为原点，杆轴线为轴，从轴正方向逆时针旋转90º得轴 2．整体坐标：平面内取一计算较方便的点作为参考原点，一般以水平线为X轴，竖直线为Y轴第一章 平面杆系有限元法,三、单元杆端力与杆端位移,任意杆件的杆端力与杆端位移分量表示如局部坐标系图与总体坐标系图。

局部坐标系,总体坐标系,第一章 平面杆系有限元法,1．元素顺序： 杆端位移分量顺序：左、右端杆 件位移分别按方向位移，方向位移与转 动角（局部坐标）或X方向位移u ，Y 方向位移v与转动角（总体坐标）进行 排列 杆端力分量顺序：与杆端位移分 量排列顺序对应，左、右端杆端力分别 按方向分力， 方向分力与转动力矩局 部坐标）或X方向分力FX，Y方向分力 FY与转动力矩M（总体坐标）进行排列局部坐标系,总体坐标系,F,F,F,F,F,F,F,F,第一章 平面杆系有限元法,局部坐标下的分量列阵表达式：,杆端力 ； 杆端位移,,,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,总体坐标下的分量列阵表达式：,杆端力 ； 杆端位移,,,,,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,四、单元杆端力与杆端位移的坐标转换,如图坐标系（局部 ，总体xoy），杆e 与X轴夹角为α，根据力的分解与合成，有：,,,,,,,,,,,不同坐标系中的力与位移转换图,,,F,F,F,F,F,F,F,F,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,不同坐标系中的力与位移转换图,,,,第一章 平面杆系有限元法,写成矩阵形式为：,,,,,,,,,,,,,,,可表达为：,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,其中矩阵 [T]6×6就称为杆单元的几何转换矩阵,,,求解[T]的CH子程序见书上P20:“SUBROUTINE CH（k）“,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,注意到： [T] = [T] ，即逆矩阵等于转置矩阵（任意α都成立），说明几何转换矩阵为正交矩阵。

那么（1-3）式等式两边同时乘矩阵[T] （即[T] ）可得：,,-1,T,-1,T,,上式（2-4）即为杆端力在局部坐标与总体坐标下的转换关系，转换矩阵为[T]与[T] T,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,同理，可以推出杆端位移在总体坐标与局部坐标下的转换关系，其表达式为：,,,,,第一章 平面杆系有限元法,例题,,,,,,,,,,,,,,,,[例1-1] 有杆件α=90º（垂直），cosα=0,sinα=1，则该杆的几何转换矩阵为：,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,根据，该杆局部坐标下杆端位移分量与总体坐标下杆端位移分量的关系为：,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,五、整体坐标单元刚度矩阵,,,,,,,,,,,,,由前：,,,,（1-3）、（1-5）代入（1-2）得：,,两边同乘以[T] 即[T] 则得:,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,,令:,,,上式即为表达总体坐标下杆端力与杆端位移的关系得:,单元e在总体坐标中的单元刚度矩阵,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,按照工程结构计算机分析的一般步骤是先分后合，在把结构分离为独立的单元，求得单元刚度矩阵之后，又要按照单元在原有结构中的位置合成整体，分析整体结构的变形与外力之间的关系，得到整体结构的刚度矩阵。

既然整体结构是由若干个单元拼合组成，那么整体结构的刚度矩阵也可以用单元刚度矩阵来集成，以下给予详细说明§1.3总 体 刚 度 矩 阵 的 集 成,第一章 平面杆系有限元法,一、单元刚度矩阵的扩大矩阵（全元素）,,,,,,,,,,,,,1）例子分析,,,,用一个简单的例子加以说明离散分析得到了单元刚度矩阵后，总刚矩阵的合成（集成）过程 如右图所，该框架结构可离散为单元①、②，单元数NE=2，节点总数NJ=3第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,该体系的整体结构位移分量为：,,,,,,可用分块形式写成：,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,其中表示第i节点的三个位移分量（总体坐标下），即：,,,,,,,,通过单元分析，得到第1单元总体坐标下的单元刚度矩阵各元素为K1ij（i,j=1,2……6）单元杆端力与位移的关系为（总体坐标下）：,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,用分块形式表示如下：,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,用分块形式表示如下：,,,,,,,,,,刚度矩阵子块为3行3列的子块第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,把位移分量扩大到包括整体结构的全部分量，上式成为：,,,,,,,,,,,同样理由，第二单元分析所得到杆端位移与杆端力的关系式，扩大后得到：,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,把以上二式相加得到：,,,,,,,,,,,根据内力与外力的平衡，得：,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根据内力与外力的平衡，得：,,于是，有：,第一章 平面杆系有限元法,例子刚度矩阵,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,这就是整体结构的位移与荷载的关系。

写成,,矩阵[ZK]就是整体结构的刚度矩阵第一章 平面杆系有限元法,练习,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,练习：试根据实际单元号写出其总体坐标下单刚的扩大刚度矩阵形式，各元素在扩大总刚中的位置例单元⑤左点7，右点4（总节点数NJ=9）,,,,第一章 平面杆系有限元法,二、集成总刚的一般概念,,,,,,,,,,,,,,,,,,,整体坐标下单元刚度矩阵[K]e反映总体坐标下单元杆端位移与杆端力的关系：,,,,,将这种式子扩充（单元刚度矩阵的扩大矩阵也称为“贡献矩阵”），使位移分量反映整体结构的位移，即：,,,将所有单元的这类式子相加得：,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,,注意到下面两个条件：,,,,,1）. 上式左边为公因式； 2）.根据平衡原理，节点汇交杆端力的总和与外力平衡即 ，称其中的{P}为荷载列阵于是上式成为：,,,,令 ,得:,,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,,其中，[ZK]称为整体结构的刚度矩阵，它反映整体结构的变形与外荷载{P}之间的关系第一章 平面杆系有限元法,三、全元素存放集成总刚的程序片断,,,,,,,,,,,,,,,,,对于任意单元e来说,设左端点为i， 则始前值I0=3×(i-1)，右端点为j，则始前值J0=3×(j-1)，扩大的单元刚度矩阵，反映了增加一些零方程组后单元杆端节点位移与单元杆端节点力之间的关系。

用分块形式表达如下：,,,,,,,列块 第一列块：,,,,行块 第一行块,,第一章 平面杆系有限元法,,,,,,,,,,,,,,,,,于是在集成总刚（ ） 时，单元e（左端I=NL(e)，右端J=NR(e)，始前值分别为I0，J0）的四个刚度子块分别在总刚矩阵中的位置如右表：,,,,,,,,,,,,,,,第一章 平面杆系有限元法,程序片断,,,,,,,,,,,,,,,,,那么，将单元e的扩大刚度矩阵集入总刚的程序片断可以写成：,,,,,,,,,,DO 115 I=1,3 DO 115 J=1,3 AK(I0+I,I0+J)=AK(I0+I,I0+J)+KE(I,J) AK(I0+I,J0+J)=AK(I0+I,J0+J)+KE(I,J+3) AK(J0+I,I0+J)=AK(J0+I,I0+J)+KE(I+3,J) AK(J0+I,J0+J)=AK(J0+I,J0+J)+KE(I+3,J+3) CONTINUE,115,循环次数内３次，外3次，共9次，每次循环集入4个元素，最终将单元刚度4×9=36个元素（4个子块，每块9个元素）集入总刚第一章 平面杆系有限元法,引入支撑条件：,划去与位移为零对应的行和列 “主1，副0” 法,第一章 平面杆系有限元法,单元荷载的转化,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,第一章 平面杆系有限元法,,四、简单平面杆系分析主程序,,,,,,,,,,,,,1、总框图,,,,,,输入基本数据,各单元分析,建立总刚矩阵,形成荷载列阵,求各杆单元内力,解方程求结点位移,输出内力与位移,结 束,。