用活全等叠合一法探究几何多解一题.docx

    用活全等叠合一法探究几何多解一题    王新华听了冯万绪老师的直播课《证全等三角形只需一法》，就会知道叠合一法是依据平移、翻折、旋转等叠合变换构造全等三角形的.基本模型平移模型：如图1，将△ABC平移叠合到△DEF.轴对称模型：如图2，将△ABC翻折叠合到△DEF;如图3，翻折叠合转化为轴对称模型;如图4，作双垂线，构造的直角三角形叠合为轴对称模型.互补模型：如图5，构造等腰三角形转化为一边一角模型;如图6，在三角形外部全等叠合.模型应用例 如图7，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED = EC. 求证：AE = BD.学法指导1：抓住已知条件∠EDC = ∠ECD，∠EDB与∠EDC互补，作∠ECD 的补角∠ECG，由“等角的补角相等”转化为两角相等，即∠EDB = ∠ECG，再由ED = EC构建“一边一角”型，将△EDB通过翻折、旋转叠合变换得到△ECG，如图8，构造出全等三角形，即△EDB ≌ △ECG.再证△EBG是等边三角形，易得AE = BD .辅助线：延长BC至点G，使得CG = BD，连接EG，如图8.学法指导2：抓住已知条件ED = EC，先证∠BED = ∠ACE，可构建“一边一角”型，将△AEC通过旋转叠合变换得到△EGD，如图9，构造出全等三角形，即△GDE ≌ △AEC. 再证△GBD是等边三角形，易得AE = BD.辅助线：在AB上取点G，使得GE = AB，连接DG，如图9.学法指导3：抓住∠EDC = ∠ECB，∠EDB与∠EDC互补，作∠ECD 的补角，由“等角的补角相等”转化为两角相等，即∠GEC = ∠EDB，再由ED = EC构建“一边一角”型，将△EBD通过平移、翻折叠合变换得到△ECG，如图10，構造出全等三角形，即△GEC ≌ △BDE.再证△AEG是等边三角形，易得AE = BD.辅助线：过点E作EG[⫽]BC，交CA的延长线于点G，如图10.学法指导4：抓住已知条件ED = EC，将△EAD翻折、旋转叠合变换得到△EGC，如图11，构造出全等三角形，即△GEC ≌ △AED.再证△EAG是等边三角形，易得AE = BD.辅助线：作∠CEG = ∠DEA，取EG = EA，连接GC，AG，AD，如图11.学法指导5：抓住已知条件∠B = 60°，构造等边三角形BGE，如图12，利用等边三角形的边角性质，探究出全等三角形，即△EBD ≌ △EGC，易证AE = CG，则AE = BD.辅助线：延长BC至点G，使得BG = BE，连接EG，如图12.学法指导6：抓住已知条件∠B = 60°，构造等边三角形BDG，如图13，利用等边三角形性质得到边角相等关系，探究出全等三角形，即△GED ≌ △ACE，易证AE = BD.辅助线：在BA上取一点G，使得BG = BD，连接DG，如图13.反思：例题的辅助线引法较多，还可以延长CA至G，使得AG = AE，如图10;作AG[⫽]BC，取AG = AE，连接EG，GC，如图11;过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图14.请同学们尝试证明.（作者单位：辽宁省大连市第三十七中学）  -全文完-。