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高考数学复习圆锥曲线与方程变式题1 人教 A 版选修 11，21 第 39 页例 2如图，在圆224xy上任取一点P，过点 P 作 X 轴的垂线段PD，D 为垂足当点P 在圆上运动时，线段PD的中点 M 的轨迹是什么？变式 1：设点 P 是圆224xy上的任一点，定点D的坐标为 8，0 当点 P 在圆上运动时，求线段PD 的中点 M 的轨迹方程解：设点 M 的坐标为, x y，点 P 的坐标为00,xy，那么082xx，02yy即028xx，02yy因为点 P 00,xy在圆224xy上，所以22004xy即222824xy，即2241xy，这就是动点M 的轨迹方程变式 2：设点P 是圆224xy上的任一点，定点D 的坐标为 8，0 ，假设点M 满足2PMMD当点 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程解： 设点 M 的坐标为, x y，点 P 的坐标为00,xy，由2PMMD，得00,2 8,xxyyxy，即0316xx，03yy因为点 P00,xy在圆224xy上，所以22004xy即2231634xy，即2216439xy，这就是动点M 的轨迹方程X Y P O D M 变式 3：设点 P 是曲线,0fx y上的任一点，定点D 的坐标为,a b，假设点M 满足(,1)PMMDR当点 P 在曲线,0fx y上运动时，求点M 的轨迹方程解： 设点 M 的坐标为, x y，点 P 的坐标为00,xy，由PMMD，得00,xxyyax by，即01xxa，01yyb因为点 P00,xy在圆,0fx y上，所以00,0fxy即1,10fxayb，这就是动点M 的轨迹方程2 人教 A 版选修 11，21 第 40 页练习第3 题经过椭圆2212516xy的右焦点2F作垂直于x 轴的直线A B，交椭圆于A，B 两点，1F是椭圆的左焦点1求1AF B的周长；2如果 AB 不垂直于x 轴，1AF B的周长有变化吗？为什么？变式 12005 年全国卷 ：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，假设 F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是A22B212C22D21解一：设椭圆方程为22221xyab，依题意，显然有212PFF F，那么22bca，即222acca，即2210ee，解得21e选 D解二： F1PF2为等腰直角三角形，cPFcFFPF22,21212.aPFPF221，acc222，12121ac应选 D变式 2：双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF，点 P 在双曲线的右支上，且12|4 |PFPF，那么此双曲线的离心率e 的最大值为解一： 由定义知12|2PFPFa，又12|4|PFPF，解得183PFa，223PFa，在12PF F中，由余弦定理，得2222218981732382494964coseaacaaPFF，要求e的最大值，即求21cosPFF的最小值，当1cos21PFF时，解得53e即e的最大值为53解二： 设),(yxP，由焦半径公式得aexPFaexPF21,，214PFPF，)(4)(aexaex，xae35，ax，35e，e的最大值为53变式 32005 年全国卷 ：椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上， 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于A、B 两点，OA OB与(3, 1)a共线求椭圆的离心率；设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OMOAOBR，证明22为定值解： 设椭圆方程为)0,(),0( 12222cFbabyax，那么直线 AB 的方程为cxy，代入12222byax，化简得02)(22222222bacacxaxba. 设 A11, yx ，B22,(yx ，那么22222121222222,.a ca ca bxxx xabab由1212(,),(3, 1),OAOBxxyyaOAOB与a共线，得,0)()(32121xxyy又cxycxy2211,，.23,0)()2(3212121cxxxxcxx即232222cbaca，所以36.32222abacba，故离心率.36ace证明：由知223ba，所以椭圆12222byax可化为.33222byx设( ,)OMx y，由得),(),(),(2211yxyxyx.,2121yyyxxx),(yxM在椭圆上，.3)(3)(2221221byyxx即.3)3(2)3()3(221212222221212byyxxyxyx由知.21,23,23222221cbcacxx2222212223,8a ca bx xcab121212122121222233()()43()33930.22x xy yx xxcxcx xxx ccccc又222222212133,33byxbyx，代入得.122故22为定值，定值为1. 3 人教 A 版选修 11，21 第 47 页习题 2.1A 组第 6 题点 P 是椭圆22154xy上的一点，且以点P 及焦点1F，2F为顶点的三角形的面积等于1，求点 P 的坐标变式 12004 年湖北卷理 ：椭圆191622yx的左、右焦点分别为F1、F2，点 P 在椭圆上，假设 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P 到 x 轴的距离为A59B3 C779D49解：依题意，可知当以F1或 F2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为97,4，那么点P 到 x 轴的距离为49，应选 D 可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形变式 2 2006年全国卷 ：ABC的顶点 B、C在椭圆2213xy上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么ABC的周长是A2 3B6C4 3D12 解： 由于椭圆2213xy的长半轴长3a，而根据椭圆的定义可知ABC的周长为44 3a，应选 C4 人教 A 版选修 11，21 第 47 页习题 2.1B 组第 3 题如图，矩形ABCD 中，2ABa，2BCb，E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，R，S，T 是线段 OF 的四等分点，R，S，T是线段 CF 的四等分点请证明直线ER 与GR、ES与GS、ET 与GT的交点 L，M，N 在同一个椭圆上变式 1：直线:1lykx与双曲线22: 21Cxy的右支交于不同的两点A、B.假设双曲线C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆上时，那么实数k解： 将直线:1lykx代入双曲线C 的方程2221xy整理，得.022)2(22kxxk依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2 )8(2)0,20,220.2kkkkkk解得22k设 A、B 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么由式得.22,22222221kxxkkxx双曲线 C 的右焦点 F ,0c在以 AB 为直径的圆上，那么由FAFB 得：.0)1)(1()(. 0)(21212121kxkxcxcxyycxcx即整理，得.01)()1(221212cxxckxxk把式及26c代入式化简，得.066252kk解得)(2,2(566566舍去或kk，故566kNMLT/S/R/TSROHGFEDCBA变式 22002 年广东卷：A、B 是双曲线2212yx上的两点，点N1，2是线段AB 的中点求直线AB 的方程；如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点，那么A、B、C、D 四点是否共圆？为什么？解： 直线AB 的方程为1yx 求解过程略联立方程组221,1.2yxyx得1,0A、3,4B由 CD 垂直平分AB，得 CD 方程为3yx代入双曲线方程2212yx整理，得26110 xx记11,C xy，22,D xy以及 CD 的中点为00,Mxy，那么有12126,11.xxx x从而3,6M21212122244 10CDxxxxx x2 10MCMD又2231602 10MAMB即 A、 B、C、D 四点到点M 的距离相等故 A、 B、C、D 四点共圆变式 32005 年湖北卷：设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点N1， 3是线段AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . 确定的取值范围，并求直线AB 的方程；试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由. 解法 1：依题意，可设直线AB 的方程为223,3)1(yxxky代入整理，得.0)3()3(2)3(222kxkkxk设是方程则212211,),(),(xxyxByxA的两个不同的根，0)3(3)3(422kk)3, 1(.3)3(2221Nkkkxx由且是线段 AB 的中点，得.3)3(, 12221kkkxx解得k 1，代入得，12，即的取值范围是12，. 于是，直线AB 的方程为. 04),1(3yxxy即解法 2：设则有),(),(2211yxByxA.0)()(33,32121212122222121yyyyxxxxyxyx依题意，.)(3,212121yyxxkxxAB. 04),1(3).,12(.12313,) 3, 1(. 1,6, 2,)3 , 1(222121yxxyABNkyyxxABNAB即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是 解法 1：.02, 13,yxxyCDABCD即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442xx是方程则的中点为又设43004433,),(),(),(xxyxMCDyxDyxC的两根，).23,21(,232,21)(21, 10043043Mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得).3(2|)1(1|432xxkCD将直线 AB 的方程代入椭圆方程得, 04yx.016842xx同理可得. )12(2|1|212xxkAB. |, )12(2)3(2,12CDAB时当假设在在 12，使得 A、B、C、D 四点共圆，那么CD 必为圆的直径，点M 为圆心 .点 M到直线 AB 的距离为.2232|42321|2|4|00yxd于是，由、式和勾股定理可得.|2|2321229|2|22222CDABdMBMA故当12时， A、B、 C、D 四点均在以M 为圆心，2|CD为半径的圆上. 注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A、B、C、D 共圆 ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|2DNCNAN).2|)(2|()2|(2dCDdCDAB由式知，式左边.212由和知，式右边)2232)3(2)(2232)3(2(,2122923式成立，即A、B、 C、 D 四点共圆解法 2：由解法1 及12. , 13,xyCDABCD方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442xx解得2314,3x. 将直线 AB 的方程, 04yx代入椭圆方程，整理得.016842xx解得21222, 1x. 不妨设)233,231(),233,231(),12213 ,12211(DCA)21233,23123(CA)21233,23123(DA计算可得0DACA， A 在以 CD 为直径的圆上 . 又点 A与B 关于 CD 对称， A、B、C、D 四点共圆 . 注：也可用勾股定理证明ACAD5 人教 A 版选修 11，21 第 59 页习题 2.2B 组第 1 题求与椭圆2214924xy有公共焦点，且离心率54e的双曲线的方程变式 12002 年北京卷文 ：椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是Ayx215Bxy215Cyx43Dxy43解： 依题意，有22223523mnmn，即228mn，即双曲线方程为22221163xynn，故双曲线的渐近线方程是22220163xynn，即xy43，选 D变式 22004 年全国卷理 ：椭圆的中心在原点，离心率21e，且它的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，那么此椭圆方程为A13422yxB16822yxC1222yxD1422yx解：抛物线xy42的焦。