《高等数学》第七章多元函数微分法及其应用（下）.ppt

2018年9月8日星期六,1,高等数学多媒体课件,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2018年9月8日星期六,2,第五节 隐函数的求导公式,第七章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2018年9月8日星期六,3,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C < 0 时, 能确定隐函数;,当 C > 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,,,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2018年9月8日星期六,4,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,① 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,②,③,满足条件,导数,2018年9月8日星期六,5,两边对 x 求导,,,在,的某邻域内,则,2018年9月8日星期六,6,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,并求,例1 验证方程,（补充题）,解: 令,连续 ,,由 定理1 可知,,①,导的隐函数,则,②,③,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,2018年9月8日星期六,7,,2018年9月8日星期六,8,,,两边对 x 求导,,,两边再对 x 求导,,令 x = 0 , 注意此时,— 利用隐函数求导,（自行练习课本 例1）,导数的另一求法,2018年9月8日星期六,9,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ,,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足,① 在点,满足:,②,③,某一邻域内可唯一确,定理2,2018年9月8日星期六,10,两边对 x 求偏导,,,同样可得,则,2018年9月8日星期六,11,解法1 利用隐函数求导,,,,再对 x 求导,例2 设,（补充题）,2018年9月8日星期六,12,设,则,两边对 x 求偏导,,（自行练习课本 例2）,解法2 利用公式,2018年9月8日星期六,13,二、方程组的情形,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,,即,2018年9月8日星期六,14,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,③,的单值连续函数,且有偏导数公式 :,① 在点,②,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,定理3,2018年9月8日星期六,15,,,,,定理证明略.仅推导偏导数公式如下：,2018年9月8日星期六,16,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,二元线性代数方程组解的公式,在点P 的某邻域内,故得,系数行列式,2018年9月8日星期六,17,同样可得,2018年9月8日星期六,18,分析：,此题可以直接用课本中的公式（6）求解，,但也可按照推导公式（6）的方法来求解.,下面用后一种方法求解.,2018年9月8日星期六,19,2018年9月8日星期六,20,解：,2018年9月8日星期六,21,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法2. 代公式,课后练习,习题7－5 1、3、5、7、10、11（1）（3）,思考练习,1. 设,求,2018年9月8日星期六,22,,,,,,,解法1:,2018年9月8日星期六,23,由d y, d z 的系数即可得,解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,2018年9月8日星期六,24,分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,,2. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,,,,,,(2001考研),解得,因此,2018年9月8日星期六,25,,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,,,,,,(99考研),,,3. 设,2018年9月8日星期六,26,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,,,可得,解法2 微分法.,2018年9月8日星期六,27,雅可比(1804 – 1851),,德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方,程,,在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 .,他,在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.,2018年9月8日星期六,28,二元线性代数方程组解的公式,解:,2018年9月8日星期六,29,第六节 多元微分学在几何上的应用,第七章,(Applications of differential calculus in geometry),一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结与思考练习,2018年9月8日星期六,30,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,2018年9月8日星期六,31,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击看动画,,,,,(Tangent and normal plane of space curve),2018年9月8日星期六,32,切线方程,,1. 曲线方程为参数方程的情况,2018年9月8日星期六,33,,,此处要求,也是法平面的法向量,,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,,不全为0,,,,因此得法平面方程,说明: 若引进向量函数,,, 则 ,处的导向量,,就是该点的切向量.,,,,,2018年9月8日星期六,34,解题思路:,切线方程,法平面方程,2018年9月8日星期六,35,,,2018年9月8日星期六,36,光滑曲线,当,曲线上一点,,,,,, 且有,时,  可表示为,处的切向量为,,,,2. 曲线为一般式的情况,2018年9月8日星期六,37,则在点,切线方程,法平面方程,有,,或,2018年9月8日星期六,38,也可表为,法平面方程,2018年9月8日星期六,39,在点,M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,,例2 求曲线,2018年9月8日星期六,40,即,解法2. 方程组两边对 x 求导, 得,,曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:,切向量,解得,,法平面方程,2018年9月8日星期六,41,,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,–2, 1) 处的切向量,,2018年9月8日星期六,42,二、曲面的切平面与法线,设有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,,切线方程为,不全为0 .,则  在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,,,,,下面证明:,此平面称为  在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,,(Tangent plane and normal line of surface),2018年9月8日星期六,43,,在  上,,得,,,,令,,由于曲线  的任意性 ,,表明这些切线都在以,为法向量,,的平面上 ,,从而切平面存在 .,证:,2018年9月8日星期六,44,曲面  在点 M 的法向量,,切平面方程,法线方程,2018年9月8日星期六,45,曲面,时,,则在点,故当函数,法线方程,令,在点,有连续偏导数时,,切平面方程,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,2018年9月8日星期六,46,法向量,用,将,表示法向量的方向角,,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,,,法向量的方向余弦：,2018年9月8日星期六,47,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,,,例3 求球面,2018年9月8日星期六,48,解题思路:,切平面方程,法线方程,2018年9月8日星期六,49,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,,2018年9月8日星期六,50,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,,2) 一般式情况.,2018年9月8日星期六,51,空间光滑曲面,曲面  在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,,2. 曲面的切平面与法线,2018年9月8日星期六,52,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,法线的方向余弦,法向量,,2) 显式情况.,2018年9月8日星期六,53,习题7－6 1（1）（4）； 2； 3 （1）（2）； 6,课外练习,思考与练习,2018年9月8日星期六,54,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,,,,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,,,,1. 求曲线,2018年9月8日星期六,55,提示: 设切点为,则,,,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2018年9月8日星期六,56,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,3. 设 f ( u ) 可微,,2018年9月8日星期六,57,与定直线平行,,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,,,4. 证明曲面,2018年9月8日星期六,58,第七节 方向导数与梯度,第七章,(Directional Derivative and Grads),一、方向导数,二、梯度,三、小结与思考练习,2018年9月8日星期六,59,,,,一、方向导数,定义 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,,记作,2018年9月8日星期六,60,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,,得,,,故,定理,2018年9月8日星期六,61,对于二元函数,为,  ) 的方向导数为,特别:,• 当 l 与 x 轴同向,• 当 l 与 x 轴反向,,向角,2018年9月8日星期六,62,提示:,提示:,2018年9月8日星期六,63,二、梯度,方向导数公式,令向量,,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,,,,,,,2018年9月8日星期六,64,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),,在点,处的梯度,,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,定义,2018年9月8日星期六,65,提示:,提示:,2018年9月8日星期六,66,2018年9月8日星期六,67,内容小结,1. 方向导数,• 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为,• 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2018年9月8日星期六,68,2. 梯度,• 三元函数,在点,处的梯度为,• 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,,偏导数存在,•,• 可微,,2018年9月8日星期六,69,习题7－7 1；2；5；7；9,课外练习,思考练习,1. 设函数,。