数理方程与特殊函数：狄氏问题格林函数.ppt

1本次课主要内容本次课主要内容(一一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性、狄氏问题与牛曼问题解的适定性狄氏问题格林函数狄氏问题格林函数 (二二)、三维空间中狄氏问题格林函数、三维空间中狄氏问题格林函数(三三)、平面中的三个格林公式、平面中的三个格林公式2定理定理1 (唯一性定理唯一性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的 (一一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性、狄氏问题与牛曼问题解的适定性证明：设证明：设u1与与u2是定解问题是定解问题 的两个解令的两个解令v=u1-u2,则：则：由调和函数性质知：在由调和函数性质知：在VS上：上：3定理定理2 (稳定性定理稳定性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的 证明：设在边界证明：设在边界S上给出两个函数上给出两个函数f1与与f2,且：且： 拉氏方程的狄氏问题对应于拉氏方程的狄氏问题对应于f1与与f2的解设为的解设为u1与与u2，即：，即： 令：令： 那么：那么：由调和函数极值原理，由调和函数极值原理，v在在VS上的极值只能在上的极值只能在S上取得，所以上取得，所以 4即证明了稳定性。

即证明了稳定性 定理定理3 拉氏拉氏方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别，方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别，是唯一的是唯一的 证明：设证明：设u1与与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：令：令：5则：则：由第一格林公式：由第一格林公式：取取 6由条件：由条件：所以：所以：7于是得到：于是得到：定理定理4 拉氏拉氏方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定证明：设证明：设f1与与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，又设又设u1与与u2是对应于两个边界条件的解由定理是对应于两个边界条件的解由定理3，两个，两个解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，8解的相差可能不会任意小，即解不稳定解的相差可能不会任意小，即解不稳定 (二二)、三维空间中狄氏问题格林函数、三维空间中狄氏问题格林函数 1、狄氏问题格林函数的引出、狄氏问题格林函数的引出泊松方程狄氏问题为：泊松方程狄氏问题为：(1)、解的积分表达式、解的积分表达式设设u(x,y,z)为定解问题的解，令为定解问题的解，令v(x,y,z)为为VS上调和函数。

上调和函数9由第二格林公式：由第二格林公式：由定解问题得：由定解问题得：由第三格林公式，如下定解问题由第三格林公式，如下定解问题10的解为：的解为：结合结合*可得如下等式：可得如下等式：1112其中：其中：容易验证：容易验证：如果令如果令G(M,M0)满足：满足： 则可得泊松方程则可得泊松方程狄氏解定理狄氏解定理13定理：泊松方程狄氏解为：定理：泊松方程狄氏解为：其中其中G(M,M0)满足：满足：推论：拉氏方程狄氏解为：推论：拉氏方程狄氏解为：定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式14定义：若定义：若G(M,M0)满足：满足：则称则称G(M,M0)为定义在为定义在VS上的三维狄氏格林函数上的三维狄氏格林函数1)、方程、方程ΔΔG(M,MG(M,M0 0 )= - )= -δδ(M-M(M-M0 0) )的解物理意义是：空间的解物理意义是：空间M M0 0点处有一电量为点处有一电量为εε( (真空中的介电常数）的正点电荷，在真空中的介电常数）的正点电荷，在M M处产生的电势，其大小为处产生的电势，其大小为G(M,MG(M,M0 0)=1/4)=1/4ππr r；；(2)、狄氏格林函数的定义与性质、狄氏格林函数的定义与性质 狄氏格林函数的物理意义狄氏格林函数的物理意义rMM0ε15(2)、狄氏格林函数定解问题的解的物理意义为：接地导电、狄氏格林函数定解问题的解的物理意义为：接地导电壳内壳内M0处有正点电荷处有正点电荷ε，该电荷与它在边界面上产生的感，该电荷与它在边界面上产生的感应电荷在壳内应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解，其大处产生的电势叠加为定解问题的解，其大小为小为G(M,M0)= 1/4πr +v (x, y, z)。

根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格林函数，只需要求出感应电荷产生的电势林函数，只需要求出感应电荷产生的电势v (x ,y , z)即可！即可！rMM0ε 下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法----电电像法来求格林函数像法来求格林函数16性质性质1：狄氏格林函数在除去：狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏点外处处满足拉氏方程当M→M0时，，G(M,M0)趋于无于无穷大，其大，其阶数和数和1/rMM0相同狄氏格林函数的性质狄氏格林函数的性质性质性质2：在边界上格林函数恒等于零在边界上格林函数恒等于零性质性质3：在区域：在区域V内，有：内，有：17证明：由格林函数定义：证明：由格林函数定义：其中：其中： 由于在边界由于在边界S上有：上有：v>0，所以，由极值原理，在整个，所以，由极值原理，在整个VS上上v>0所以： 下面证明：下面证明：18一方面：以一方面：以M0为心在为心在V中作球中作球Vε,球面球面设为Sε则：则：M0MSVxyz19由极值原理：由极值原理： 另一方面，容易知道：对任意的另一方面，容易知道：对任意的ε>0, 在在VS-Vε中的点中的点M，，函数函数G(M,M0)不能不能为零。

零 所以，我们有：所以，我们有： 至此，证明了：至此，证明了：20性质性质4 Green函数具有对称性函数具有对称性(物理上称为互易性物理上称为互易性 )，即，即 证明证明：： (课后自学课后自学) 如图所示，以如图所示，以M1,M2为球心，为球心，ε为半半径径作作 球球K1 与与K2，其边界分别记为，其边界分别记为S1,S2··S1S2M1M2S令：令：U=G(M,M1) ,V= G(M,M2) ,在在VS-K1-K2上利用格林第上利用格林第二公式得：二公式得：21注意到，在注意到，在 VS-K1-K2上上,U与与V是调和函数，且在是调和函数，且在S上有上有U|S=V|S=0，于是有：，于是有：(1) 对于：对于：22而：所以：所以：23而对于所以：所以：24所以：所以： (2) 对于对于25而：所以：所以：由由*得：得：即得：即得：26等式等式的物理意义是：把电量为的物理意义是：把电量为ε的点的点电荷放在荷放在M1处在在M2处产生的生的电势应等于把它放在等于把它放在M2处时，在，在M1处产生的生的电势三三)、平面中的三个格林公式、平面中的三个格林公式首先证明一个定理：首先证明一个定理：设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，且围成，且f( x, y)在在D上有上有二阶连续偏导数，二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：为曲线的外法线方向，则：27证明：证明：注意到：注意到：xLnτөyDα所以：所以：28由平面曲线格林公式：由平面曲线格林公式：(1) 第一格林公式第一格林公式设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，且围成，且u(x,y),v(x,y)在在D上有二阶连续偏导数，上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：为曲线的外法线方向，则：证明：证明：29所以由平面曲线格林公式：所以由平面曲线格林公式：(2) 第二格林公式第二格林公式证明：由第一格林公式：证明：由第一格林公式：在第一格林公式条件下：在第一格林公式条件下：30证明：由第一格林公式：证明：由第一格林公式：由由(1)-(2)得：得：(3) 第三格林公式第三格林公式 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，且围成，且u(x,y)在在D上上有二阶连续偏导数，有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令：为曲线的外法线方向，令：31则：则：证明：由于证明：由于v(x,y)在在D内只有唯一奇点内只有唯一奇点M0,所以，以所以，以M0为心，为心，ε为半径作半径作圆Kε,其其边界界为Lε32由第二格林公式：由第二格林公式：·M0LεLxyo注意到，在注意到，在D-Kε内，有内，有ΔΔv= 0,v= 0,于是得于是得：：33而：而：34而：而：所以：所以：由第三格林公式可得如下结论：由第三格林公式可得如下结论：35定理：平面泊松方程洛平问题定理：平面泊松方程洛平问题的解为：的解为：推论：平面拉氏方程洛平问题推论：平面拉氏方程洛平问题36的解为：的解为：37作业作业P137习题习题6.2第第2题题P147习题习题6.4第第1题题P139习题习题6.3第第1题题38Thank You !。