高等数学（5）常微分方程 修正稿-.ppt

高等数学高等数学-谢琳主讲谢琳主讲第四章第四章常微分方程初步常微分方程初步 微分方程理论，在整个高等数学体系中可以微分方程理论，在整个高等数学体系中可以算是最核心内容之一很多近、现代数学数学算是最核心内容之一很多近、现代数学数学理论分支的产生，几乎都是围绕着微分方程派理论分支的产生，几乎都是围绕着微分方程派生出来的生出来的 从现实应用的角度讲，微分方程也是在建立数学模从现实应用的角度讲，微分方程也是在建立数学模型时被运用得最多的不仅仅是力学（最早运用微分型时被运用得最多的不仅仅是力学（最早运用微分方程的领域）、物理学、化学这些基础学科，也包括方程的领域）、物理学、化学这些基础学科，也包括生物学、经济学、金融理论，甚至社会学等领域，在生物学、经济学、金融理论，甚至社会学等领域，在构建其过程变化的模型时，也都会遇到微分方程问题构建其过程变化的模型时，也都会遇到微分方程问题 道理很简单，因为导数反映变化率，所以如果变化道理很简单，因为导数反映变化率，所以如果变化率和其他变量相关，就可能遇到微分方程率和其他变量相关，就可能遇到微分方程第四章作业第四章作业第二节：第二节：2（（2,4）；）；3（（2,4）；）； 4（（2,4）；）；5；；6；；7（（4）；）；8.第四节：第四节：2；；4（（2,3,6,8,9,10,15,16）） 5；；6（（2）；）；8；；10；；11.第五节：第五节：1（（2,3）；）；2；；3；；4.第四章第四章 常微分方程初步常微分方程初步1 基本概念；基本概念；2 初等积分法；初等积分法；3 一阶方程建模（阅读材料一阶方程建模（阅读材料-略）；略）；4 高阶线性微分方程；高阶线性微分方程；5 线性微分方程组线性微分方程组微分方程的基本概念微分方程的基本概念1 基本概念基本概念2 作为数学模型的微分方程作为数学模型的微分方程 1 与微分方程相关的基本概念与微分方程相关的基本概念（（1））微分方程微分方程：包含自变量、未知函数及其导数：包含自变量、未知函数及其导数（或微分）的等式称为（或微分）的等式称为微分方程微分方程。

如果方程中的未知如果方程中的未知函数是一元函数则称方程为函数是一元函数则称方程为常微分方程常微分方程例如：（（i）） ；；且且 ii）） ；； 且有且有 iii））其中，出现未知函数导数的最高阶数称为其中，出现未知函数导数的最高阶数称为方程的阶方程的阶（（2）） 线性与非线性微分方程：假设微分方程中线性与非线性微分方程：假设微分方程中的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现的，方程就称为的，方程就称为线性线性的；否则就是的；否则就是非线性非线性的一般线性方程的形式为：一般线性方程的形式为： 下面是两个非线性方程的例子：下面是两个非线性方程的例子：；；3）关于微分方程的解：）关于微分方程的解：方程的解；通解、积分方程的解；通解、积分曲线族；特解、积分曲线；定解条件（个数）；初始曲线族；特解、积分曲线；定解条件（个数）；初始条件与初值问题。

条件与初值问题下面通过一个例子说明这些概念下面通过一个例子说明这些概念例例 考虑一个简单方程：考虑一个简单方程：，其中，其中 是常数【【例例4-1】】（曲线的方程问题）设一曲线通过点（曲线的方程问题）设一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为处的切线斜率为2x，求此，求此曲线方程．曲线方程．【【例例4-2】】（放射性元素的衰变问题）放射性元素铀，（放射性元素的衰变问题）放射性元素铀，由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变．由原子物理学的含量就不断减少，这种现象叫衰变．由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成成正比．如果时刻正比．如果时刻t=0时铀的含量为时铀的含量为M0，试求在衰变过程，试求在衰变过程中铀在任一时刻中铀在任一时刻t的含量的含量M(t)．．【【前述方程（前述方程（ii））】】【【见前述方程（见前述方程（i））】】【【例例4-3】】（弹簧振动问题）设有一弹簧，它的上端固（弹簧振动问题）设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为定，下端挂一个质量为m的物体，弹簧伸长的物体，弹簧伸长l后就会处后就会处于静止状态，这个位置就是物体的平衡位置．如果用于静止状态，这个位置就是物体的平衡位置．如果用力将物体向下拉至某一位置，然后突然放开，那么物力将物体向下拉至某一位置，然后突然放开，那么物体就会在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的运体就会在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的运动规律．动规律．x（图（图4-14-1））lOxa)简谐振动（无阻尼自由振动）简谐振动（无阻尼自由振动）b) 有阻尼自由振动有阻尼自由振动，设阻力与速度成正比，为，设阻力与速度成正比，为，则有方程，则有方程将其将其“首一化首一化”，即得：，即得：。

c)有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动，设有铅直干扰力，设有铅直干扰力，，其中其中 2 关于数学模型关于数学模型 （（1）在构建数学模型的时候，首先要搞清楚所要）在构建数学模型的时候，首先要搞清楚所要探讨的对象是什么？建立模型的目的是什么？探讨的对象是什么？建立模型的目的是什么？（（2）在（）在（1）明确的情况下，确定构建模型）明确的情况下，确定构建模型的系统因素，即选择与目的和对象有关的变量的系统因素，即选择与目的和对象有关的变量 当然，选择模型所涉及的变量，有一定的主观性当然，选择模型所涉及的变量，有一定的主观性考虑的变量太多，会使模型过于复杂，太少也可考虑的变量太多，会使模型过于复杂，太少也可能使模型严重失真这往往需要权衡能使模型严重失真这往往需要权衡（（3）作出假设没有假设，就没有数学的应用作出假设没有假设，就没有数学的应用当然，要尽可能使假设合理但假设是否合理，当然，要尽可能使假设合理但假设是否合理，往往是一个经验和实践的问题，不仅是思辨的往往是一个经验和实践的问题，不仅是思辨的 这是一相当主观的模型尽管据说比较准确反映了这是一相当主观的模型尽管据说比较准确反映了美国美国70年左右的人口增长。

但是那时候的美国却是年左右的人口增长但是那时候的美国却是大量移民的时代多数文献似乎不太提及这一点大量移民的时代多数文献似乎不太提及这一点4）关于马尔萨斯的人口模型）关于马尔萨斯的人口模型 一个可以做调整的相对静态模型是：一个可以做调整的相对静态模型是： 说它是说它是相对静态相对静态，因为这个模型假设人口增长仅，因为这个模型假设人口增长仅仅与仅与“瞬时人口瞬时人口”相关，而与其它社会与自然因相关，而与其它社会与自然因素无关（比如计划生育政策素无关（比如计划生育政策-一点历史比较）不一点历史比较）不过这个模型常用来描述动物数量增长过这个模型常用来描述动物数量增长5）关于牛顿热力学定律）关于牛顿热力学定律 ：： 其含义无非是说，温度变化速率与温差成正比其含义无非是说，温度变化速率与温差成正比微分方程的初等积分法微分方程的初等积分法1.一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程3.利用变量代换化简方程利用变量代换化简方程 绝大多数的微分方程，是无法用解析法（代数和绝大多数的微分方程，是无法用解析法（代数和积分方法）求解的。

积分方法）求解的 当然，总有一些微分方程可以解出其未知函数当然，总有一些微分方程可以解出其未知函数 本章各节中，主要介绍可以用解析方法解出来的本章各节中，主要介绍可以用解析方法解出来的某些类型的常微分方程某些类型的常微分方程 更为深入的方程理论，不在本教程的要求范围更为深入的方程理论，不在本教程的要求范围1.一阶可分离变量的微分方程一阶可分离变量的微分方程 此类方程，可以直接分离变量，实际相当于两个此类方程，可以直接分离变量，实际相当于两个一阶微分形式的等式从解法上讲，属最简单的一阶微分形式的等式从解法上讲，属最简单的 解这类方程就是直接积分如果涉及的函数可积，解这类方程就是直接积分如果涉及的函数可积，也就解出了方程但是此类方程得到的往往是也就解出了方程但是此类方程得到的往往是隐式通隐式通解解，在解决初值问题时，注意这一点在解决初值问题时，注意这一点【【例例4-4】】求方程求方程 的通解．的通解．【【例例4-5】】求解初值问题求解初值问题注：事实上，由解析法解微分方程，基本途径总是注：事实上，由解析法解微分方程，基本途径总是要把微分方程变换成可以求积分的形式。

而要把微分方程变换成可以求积分的形式而“可分可分离变量离变量”，便是此类形式中最重要、最基本的形式便是此类形式中最重要、最基本的形式 下面一系列微分方程的解法，基本上是用下面一系列微分方程的解法，基本上是用变量代换变量代换将方程转化为可分离变量的形式将方程转化为可分离变量的形式将相同变元分离到一边，易解得：将相同变元分离到一边，易解得：分离不同变量到两侧，易解得：分离不同变量到两侧，易解得：2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 从方程分类角度讲，类似在代数学中的一元线性方从方程分类角度讲，类似在代数学中的一元线性方程，一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了程，一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了不过从方程的形式上看，一阶微分方程有两个相互关不过从方程的形式上看，一阶微分方程有两个相互关联的未知元（未知函数及其导函数）联的未知元（未知函数及其导函数） 尽管一阶线性微分方程最简单，可是掌握这类方程尽管一阶线性微分方程最简单，可是掌握这类方程的解法和解的结构形式，却是进一步探讨其它复杂方的解法和解的结构形式，却是进一步探讨其它复杂方程的重要基础程的重要基础 类似于考察代数方程解的结构，对于微分方程也是首类似于考察代数方程解的结构，对于微分方程也是首先考虑对应的齐次方程，因其可分离变量，故易解。

先考虑对应的齐次方程，因其可分离变量，故易解 假设解出对应齐次方程之后，再考虑一阶线性微分假设解出对应齐次方程之后，再考虑一阶线性微分方程解的结构应该具有什么形式方程解的结构应该具有什么形式（（1）非齐次（代数）线性方程的通解是由其一个）非齐次（代数）线性方程的通解是由其一个特解加上对应齐次方程的通解得到的特解加上对应齐次方程的通解得到的 由于由于求导算子也是线性算子求导算子也是线性算子，可知关于线性微分，可知关于线性微分方程解的结构，这个结论也应该成立方程解的结构，这个结论也应该成立2）一阶线性微分方程的标准形式为：）一阶线性微分方程的标准形式为：或者简写为：或者简写为： 其对应的齐次方程为其对应的齐次方程为或或 为为可分离变量可分离变量的方程，计算（或看出）其通解为：的方程，计算（或看出）其通解为：（（3）考察其特解的形式如果熟悉导数公式的话，）考察其特解的形式如果熟悉导数公式的话，在观察方程的时候，可以想到：在观察方程的时候，可以想到：如果令如果令 ，，那么只要那么只要也就是也就是即可满足方程。

即可满足方程于是我们得到一个解为：于是我们得到一个解为：（（4）方程的通解为：）方程的通解为：（注：这又是可分离变量的形式）注：这又是可分离变量的形式）（（5）关于常数变易法（一种变量代换法）关于常数变易法（一种变量代换法） 回顾前面的分析过程我们看到作为对应齐次方程回顾前面的分析过程我们看到作为对应齐次方程解的函数解的函数，其乘积因子是常数项，其乘积因子是常数项C，求导时，求导时不能产生非齐次项于是将其变换为待定的函数不能产生非齐次项于是将其变换为待定的函数u(x)（所谓的（所谓的常数变易法常数变易法），并由此将原方程），并由此将原方程变换变换为可分离变量为可分离变量（即可利用积分求解）的方程即可利用积分求解）的方程例例4-6】】求方程求方程 的通解．的通解． （（6）例题）例题用常数变易法：用常数变易法：有有【【例例4-7】】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它在点在点(x,y)处的切线斜率等于处的切线斜率等于2x+y．．代入公式可得通解：代入公式可得通解：由初始条件有：由初始条件有：可得：可得：注：这里仅为注：这里仅为常数变易法常数变易法做例。

也可直接代入公式计算也可直接代入公式计算 3.变量代换化简方程变量代换化简方程 前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在本质上也是利用变换，转化为本质上也是利用变换，转化为“可分离变量可分离变量”的形式 由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属于成功转化为于成功转化为“可分离变量可分离变量”的形式了的形式了 下面主要有两大类内容：下面主要有两大类内容： 变量代换的目的就是把方程变换为变量代换的目的就是把方程变换为“可分离变量可分离变量”的类型1）能变换为）能变换为“可直接分离变量可直接分离变量”的一类方程；的一类方程；（（2）可变换为）可变换为“一阶线性一阶线性”类型的方程类型的方程（（1）能够变换为）能够变换为“可直接分离变量可直接分离变量”的一类方程：的一类方程：或者其最简形式：或者其最简形式：（（2）。

分如下三种情况讨论：分如下三种情况讨论：；（；（iii））；；（（1），），（（ii））（（i）），，（（i）当）当 时，方程为：时，方程为：此类型的方程称为（此类型的方程称为（0次）齐次（式）方程次）齐次（式）方程此时只需做变换：此时只需做变换：，即，即，得，得于是方程变换为于是方程变换为“变量分离型变量分离型”：：解此方程并代回解此方程并代回即可注：这里关于齐次方程的变换，不仅仅限于方程注：这里关于齐次方程的变换，不仅仅限于方程（（1））的类型了只要是的类型了只要是 类型的齐次方程均可类型的齐次方程均可（（ii））并且并且时，做平移变换：时，做平移变换：，其中：，其中：则方程（则方程（1）变换为齐次方程形式：）变换为齐次方程形式：注：请注意这里线性变换与平移变换的意义注：请注意这里线性变换与平移变换的意义-齐次线性齐次线性方程组的通解与非齐次方程组的特解之间的关系与几何方程组的通解与非齐次方程组的特解之间的关系与几何意义随着数学学习的深入，线性代数的内容和思想方意义随着数学学习的深入，线性代数的内容和思想方法将不断的出现法将不断的出现iii））时，时，则方程（则方程（1）变换为可分离变量的形式：）变换为可分离变量的形式：。

变换：说明：教材中的说明：教材中的228页注（页注（i）中所述情况，其实已）中所述情况，其实已经包含在这个范围之内了无须特别讨论经包含在这个范围之内了无须特别讨论其中的其中的【【例例4-8】】求解方程求解方程【【例例4-9】】求方程求方程 的通解．的通解．令令，则，则令令得得再令再令方程变换为：方程变换为：，即有：，即有：（（2)可变换为可变换为“一阶线性一阶线性”的微分方程类型的微分方程类型 所谓一阶线性方程，有两个特点：一是线性；二所谓一阶线性方程，有两个特点：一是线性；二是一阶一般情况下，非线性的高阶方程是不会变是一阶一般情况下，非线性的高阶方程是不会变换成这样的简单情况的但也有某些特殊情况，经换成这样的简单情况的但也有某些特殊情况，经过适当的变换，可以归结为一阶线性方程过适当的变换，可以归结为一阶线性方程i）某些可转化为线性方程的非线性一阶方程某些可转化为线性方程的非线性一阶方程 （（a）在常微分方程中，涉及到的主变量是两个，）在常微分方程中，涉及到的主变量是两个，比如说比如说x 和和y此时，对于一阶方程而言，即可以将此时，对于一阶方程而言，即可以将y 看做看做x 的函数，也可以将的函数，也可以将x 看做看做y 的函数。

这时，的函数这时，只要方程对于某个变量是线性的，该方程就可以作只要方程对于某个变量是线性的，该方程就可以作为一阶线性方程求解了下面便是一例：为一阶线性方程求解了下面便是一例：【【例例4-10】】求方程求方程 的通解．的通解． 这里有这里有y 的高次项，对的高次项，对y来说，不是一个线性程，来说，不是一个线性程，但是将但是将x作为未知函数，方程便是线性方程了，即：作为未知函数，方程便是线性方程了，即：解之可得：解之可得：（（b）伯努利方程：）伯努利方程：令令代入，方程变换为：代入，方程变换为：令令代入变换公式：代入变换公式：原方程变换为原方程变换为，得，得这是一阶线性方程，解之可得：这是一阶线性方程，解之可得：（（ii）某些可降阶的方程类型）某些可降阶的方程类型（（a））此类方程，只需要逐次积分便可以了此类方程，只需要逐次积分便可以了b）方程中不显含因变量）方程中不显含因变量y 的情况对于对于类型的方程，类型的方程，做变换：做变换：则方程变为则方程变为n-k阶例例4-11】】求微分方程求微分方程 的通解．的通解．【【例例4-12】】解方程解方程注：目前情况下，我们一般也只能解决此类二阶方程。

注：目前情况下，我们一般也只能解决此类二阶方程【【例例4-13】】求解初值问题求解初值问题（（c）不显含自变量）不显含自变量x 的方程：的方程：做变换：做变换：，则方程可以降一阶则方程可以降一阶但是方程往往也不再是线性方程了因为此时有但是方程往往也不再是线性方程了因为此时有等等注意：变换为以注意：变换为以y为自变量与为自变量与z的方程计算多处理二的方程计算多处理二阶情况高阶时注意约掉因子可能失根，因此失解高阶时注意约掉因子可能失根，因此失解关于（关于z的方程，的方程，y是自变量）是自变量）【【例例4-14】】求解方程求解方程（（d）导数）导数=0的形式，首次积分法的形式，首次积分法若方程具有若方程具有的形式则方程实际是的形式则方程实际是这已经是这已经是n-1阶的方程了阶的方程了注：注：小结：本节的核心内容是小结：本节的核心内容是分离变量法分离变量法和和一阶线性方程一阶线性方程其它几个变换，也都是为了将某些特殊类型的方程线其它几个变换，也都是为了将某些特殊类型的方程线性化、低阶化，最终还是要分离变量，求积分性化、低阶化，最终还是要分离变量，求积分 解微分方程，一般的，说到底还是与积分相关的问解微分方程，一般的，说到底还是与积分相关的问题。

题 当然，在已经有了固定公式的情况下，可以直接代入当然，在已经有了固定公式的情况下，可以直接代入公式计算公式计算 不过，第四节以及后面的内容，仅从计算的角度讲，不过，第四节以及后面的内容，仅从计算的角度讲，积分却不是主角起主要作用的是代数方法，解代数积分却不是主角起主要作用的是代数方法，解代数方程或求矩阵的特征值等等不过这只是对一类形式方程或求矩阵的特征值等等不过这只是对一类形式简单的高阶方程或方程组（非简单的高阶方程或方程组（非0次项系数为常数）而次项系数为常数）而言其中积分（指数函数的积分）是潜在起着作用的其中积分（指数函数的积分）是潜在起着作用的关于失去解的情况考察下面例题：附录关于失去解的情况考察下面例题：解方程解方程解：因为方程中不显含解：因为方程中不显含x，可以设，可以设于是方程变换为于是方程变换为以及以及求解这两个方程即可求解这两个方程即可注：一般存在的问题是仅仅求解注：一般存在的问题是仅仅求解忽略了忽略了 从而失去了从而失去了 这个解问题：为什么会出现三个看上去无关的解呢？问题：为什么会出现三个看上去无关的解呢？解答：因为解答：因为方程不是线性的方程不是线性的，有三次项。

多出的一，有三次项多出的一次，就意味着多出一个一次（一阶）方程作为因子次，就意味着多出一个一次（一阶）方程作为因子高阶线性微分方程高阶线性微分方程1.通解的某些结构关系；通解的某些结构关系；2.高阶常系数齐次线性方程；高阶常系数齐次线性方程；3.高阶常系数线性非齐次方程；高阶常系数线性非齐次方程；4.某些变系数线性方程某些变系数线性方程附录：齐次方程解的结构问题；附录：齐次方程解的结构问题； 一般的（一般的（n 阶）线性微分方程为如下形式：阶）线性微分方程为如下形式：（1）该方程对应的齐次方程为：该方程对应的齐次方程为：（2） 本节给出一些与线性微分方程的解有关的结论，都本节给出一些与线性微分方程的解有关的结论，都是相当直接的是相当直接的1.高阶线性微分方程解的某些关系高阶线性微分方程解的某些关系（（1）高阶线性微分方程与其对应的齐次方程）高阶线性微分方程与其对应的齐次方程（（2）齐次与非齐次线性微分方程的解）齐次与非齐次线性微分方程的解叠加原理叠加原理1（教材中的定理（教材中的定理4-2）） 设设是齐次方程是齐次方程（2）的一组解，则其线性组合的一组解，则其线性组合也是方程也是方程（2）的解。

的解下面的结论都是平凡的下面的结论都是平凡的如果引入算子符号如果引入算子符号即有：则线性微分方程方程（则线性微分方程方程（1）与（）与（2）可以分别表示为：）可以分别表示为：叠加原理叠加原理2（教材定理（教材定理4-6）） 设设的特解则的特解则是方程是方程+=推论推论（教材定理（教材定理4-3的另一种表述）的另一种表述）与与分别是方程分别是方程是方程是方程（1）的解，则的解，则为方程为方程（2）的解，即存在的解，即存在（2）的的设设是方程是方程（1）解的充解的充要条件是要条件是解解，使得，使得 的一个特解（其中的一个特解（其中 都是实数）都是实数）程程（1）的一个特解，并且得到方程的一个特解，并且得到方程（2）通解的某种通解的某种表示形式，则表示形式，则方程方程（1）的通解的通解便可以便可以表示为表示为这个这个特特解与解与（2）的通解之和的通解之和这便是这便是非齐次方程非齐次方程（1）的的通解结构定理通解结构定理的内容（教材定理的内容（教材定理4-5））.分析：由以上结论可以看出，如果我们可以求得方分析：由以上结论可以看出，如果我们可以求得方 为了不为纯理论问题所困扰，在深入探讨线性齐为了不为纯理论问题所困扰，在深入探讨线性齐次微分方程解的结构问题之前，我们暂时先考虑线次微分方程解的结构问题之前，我们暂时先考虑线性齐次微分方程的解法问题。

性齐次微分方程的解法问题 接下来的问题便是，齐次线性微分方程的通解应该接下来的问题便是，齐次线性微分方程的通解应该是怎样的呢？这不是一个很平凡的结果是怎样的呢？这不是一个很平凡的结果2.高阶常系数齐次微分方程的解法高阶常系数齐次微分方程的解法 尽管从理论上讲，线性微分方程解的这种关系已经尽管从理论上讲，线性微分方程解的这种关系已经很清楚了，但是即便对于齐次线性方程也还没有具体很清楚了，但是即便对于齐次线性方程也还没有具体的解法 不过，如果齐次线性方程的各项系数都是常数，在不过，如果齐次线性方程的各项系数都是常数，在理论上讲，其解法算是彻底给出了有趣的是，解这理论上讲，其解法算是彻底给出了有趣的是，解这类微分方程的问题，被归结为解代数方程类微分方程的问题，被归结为解代数方程 然而，在归结为代数方程之前，然而，在归结为代数方程之前，首先是观察与猜测！首先是观察与猜测！ 前面已经说明，一般的前面已经说明，一般的n阶线性微分方程的解，阶线性微分方程的解，可以表示为其一个特解与对应齐次方程的通解的和可以表示为其一个特解与对应齐次方程的通解的和 不夸张的说，解方程是数学永远的问题。

因为总有不夸张的说，解方程是数学永远的问题因为总有解不完的方程，也没有一劳永逸的解决方法解不完的方程，也没有一劳永逸的解决方法（（1））欧拉待定指数函数法欧拉待定指数函数法设有系数都是常数的线性齐次方程：设有系数都是常数的线性齐次方程：（（1）） 显然，对于一阶的情况，很容易看出来，一个指数显然，对于一阶的情况，很容易看出来，一个指数函数可以是它的解那么如果将一个指数形式的函函数可以是它的解那么如果将一个指数形式的函数，比如说将数，比如说将代入到方程中，会得到什么结果呢？立刻得到代入到方程中，会得到什么结果呢？立刻得到一个如下的方程：一个如下的方程：而这个方程等价于：而这个方程等价于：（（2）） 不难看出，如果得到代数方程（不难看出，如果得到代数方程（2）的一个根，也）的一个根，也就可以得到微分方程（就可以得到微分方程（1）的一个解的一个解方程（方程（2）被）被称为齐次线性微分方程（称为齐次线性微分方程（1）的特征方程）的特征方程其根被称其根被称为为特征根特征根 由于由于n 次代数方程有次代数方程有n 个根，不难看出，这个转化，个根，不难看出，这个转化，提供了一个清晰的途径，可以解出微分方程（提供了一个清晰的途径，可以解出微分方程（1）的）的某些解。

某些解一般的，通过计算和讨论可以得到如下结果：一般的，通过计算和讨论可以得到如下结果： 注意到每个特征根对应方程的一个解，那么当特征注意到每个特征根对应方程的一个解，那么当特征方程恰好有方程恰好有n个相异实数根，对于齐次线性微分方程个相异实数根，对于齐次线性微分方程（（1），我们起码可以给出），我们起码可以给出n个解个解.但是，这就便产生但是，这就便产生了几个问题了几个问题 问题问题1：如果特征方程的某个根是重根，比如说：如果特征方程的某个根是重根，比如说k重根，重根，我们如何能够给出我们如何能够给出n个互不相关的解呢？个互不相关的解呢？ 问题问题2：假设特征根中有复数根，那么按照前面所说：假设特征根中有复数根，那么按照前面所说的方式，给出的解，会是复指数函数那么，能不能的方式，给出的解，会是复指数函数那么，能不能给出实函数的解呢？给出实函数的解呢？ 问题问题3：就算可以给出：就算可以给出n个解，是不是齐次方程的解个解，是不是齐次方程的解就都可以由这就都可以由这n个解表示呢？个解表示呢？ 会不会还存在着不能由这会不会还存在着不能由这n个解线性表示的解呢？个解线性表示的解呢？ 对于第三个问题，暂时不讨论（留待以后再说）对于第三个问题，暂时不讨论（留待以后再说） 。

姑且假设，只要得到了姑且假设，只要得到了n个线性无关的解，其它的个线性无关的解，其它的解都可由这解都可由这n个解线性表示（即解决了通解问题）个解线性表示（即解决了通解问题） 下面先给出前两个问题的答案下面先给出前两个问题的答案表表1 n阶常系数齐次微分方程通解的组成函数阶常系数齐次微分方程通解的组成函数特征根情况特征根情况单实根单实根 k重实根重实根单重共轭复根单重共轭复根K重共轭复根重共轭复根方程通解中对应的解项方程通解中对应的解项（（））+[+] 对于二阶方程，其特征方程的共轭复根只能是单对于二阶方程，其特征方程的共轭复根只能是单重的下面分别讨论这些对应是怎样得到的下面分别讨论这些对应是怎样得到的根据前面的表，容易看出来二阶方程通解的情况：根据前面的表，容易看出来二阶方程通解的情况：（（i）两个相异实根）两个相异实根（（ii））（（iii））——通解通解；；二重根二重根——通解为通解为共轭复根共轭复根——通解为通解为（（））+注：（注：（i）是显然的；（）是显然的；（ii）注意到对首）注意到对首1多项式多项式；； （（iii）此时通解形式的出处可以考虑欧拉公式。

此时通解形式的出处可以考虑欧拉公式其重根满足：，其重根满足：附：关于（附：关于（ii）的推导过程设二阶方程）的推导过程设二阶方程设设得得代入代入只需满足只需满足，便得到方程的另一个解便得到方程的另一个解最简明可设最简明可设 ，即可【【例例4-24】】求方程求方程 的通解的通解.【【例例4-25】】求方程求方程 满足初始条件满足初始条件的特解的特解.【【例例4-26】】求方程求方程 的通解的通解.【【例例4-27】】求方程求方程 的通解的通解.【【例例4-28】】求初始问题求初始问题 的解的解.3.高阶常系数非齐次微分方程的解法高阶常系数非齐次微分方程的解法 由可以理解的原因，这里仅仅考虑二阶方程显然由可以理解的原因，这里仅仅考虑二阶方程显然对于常系数非齐次线性方程，主要的是找出其一个对于常系数非齐次线性方程，主要的是找出其一个特解。

特解 一般而言，我们考虑的非齐次方程中的非齐次项，一般而言，我们考虑的非齐次方程中的非齐次项，是初等函数，而最常见的是多项式、指数函数、三是初等函数，而最常见的是多项式、指数函数、三角函数以及它们的组合形式角函数以及它们的组合形式 解方程的基本方法是解方程的基本方法是待定系数法待定系数法主要是代数方法代数方法下面主要介绍三种情况，对应方程的非齐次项下面主要介绍三种情况，对应方程的非齐次项分别为：分别为：（（i）指数函数与多项式的乘积；）指数函数与多项式的乘积；（（ii）指数函数、多项式与三角函数的乘积；）指数函数、多项式与三角函数的乘积；（（iii）上述两类函数之和的情况上述两类函数之和的情况（（i））其中其中是常数，是常数，是是m次多项式次多项式 由于指数函数与多项式的乘积的各阶导数依然还是由于指数函数与多项式的乘积的各阶导数依然还是指数函数与多项式的乘积因此为求得（指数函数与多项式的乘积因此为求得（1）的一个）的一个特解，可以合理的设该解也具有这样的形式即设特解，可以合理的设该解也具有这样的形式即设（（1））是方程的一个解这里的是方程的一个解这里的是一个待定的多项式是一个待定的多项式。

1*））将（将（1*）代入方程（）代入方程（1）可得如下等式：）可得如下等式：下面仅以二阶方程为例，说明如何确定下面仅以二阶方程为例，说明如何确定高阶方程的情况完全类似只是公式和符号略显繁复，可方程的情况完全类似只是公式和符号略显繁复，可以自行推导和讨论以自行推导和讨论（（1**））设有一个待定的设有一个待定的m次多项式为：次多项式为：下面分三种情况考虑：下面分三种情况考虑：（（a））非非0，即，即不是特征方程的根，不是特征方程的根，则知则知应该是是应该是是m次多项式次多项式设设利用待定系数法确定利用待定系数法确定的各项系数即可的各项系数即可b））非非0，但是，但是=0，即，即特征方程的一个单根，则特征方程的一个单根，则是是应该是一个应该是一个m次多次多项式，而项式，而是一个是一个m+1次多项式，于是设次多项式，于是设 同样可以用待定系数法确定同样可以用待定系数法确定的各项系数，也就的各项系数，也就求出了求出了c）如果）如果与与均为均为0，即，即是特征是特征重根则是一个是一个m次多项式次多项式应该是应该是m+2次多项式这时设次多项式这时设依然由待定系数法，利用（依然由待定系数法，利用（1**）求出）求出即可。

即可注注1：以上讨论不难看出对于一般的高阶方程（：以上讨论不难看出对于一般的高阶方程（1），），其特解的形式应该为：其特解的形式应该为：（其中（其中 是是 作为特征根的重数）作为特征根的重数）【【例例4-29】】求方程求方程 的一个特解的一个特解.注注2 （求解方程（（求解方程（1）基本步骤）先给出特征方程，）基本步骤）先给出特征方程，然后：然后：检查检查 是特征方程的几重根，据此写出方程待定是特征方程的几重根，据此写出方程待定特解的基本形式；特解的基本形式；最后给出原方的通解形式最后给出原方的通解形式将待定的特解代入方程，确定相关系数；将待定的特解代入方程，确定相关系数；如需要，根据特征方程给出对应齐次方程的通解；如需要，根据特征方程给出对应齐次方程的通解；解：非齐次项函数解：非齐次项函数f (x)=x2+3x+2=e0x(x2+3x+2)，而，而 =0不是特征方程不是特征方程 的根，故可的根，故可设特解特解为将将 及及 带入原方程，带入原方程，整理得整理得比比较x同次同次幂的系数，得的系数，得联立方程立方程解之，得解之，得由此得方程的一个特解由此得方程的一个特解为接续接续【【例例4-29】】【【例例4-30】】求方程求方程 的通解的通解.解：方程相解：方程相应的的齐次微分方程次微分方程为 ，其特，其特征方程征方程为；特征根；特征根为由于由于 是特征方程的是特征方程的单根，故根，故设原方程一个特解原方程一个特解为将其将其带入原方程，整理得入原方程，整理得 于是有于是有 , 解得解得 ，， 所以所以从而所求通解从而所求通解为【【例例4-31】】求解微分方程求解微分方程解：解：这是一个三是一个三阶常系数非常系数非齐次次线性微分方程，其性微分方程，其对应的的齐次微分方程的特征方程次微分方程的特征方程为 ，，解出其特征根解出其特征根 原方程非原方程非齐次次项为ex，， 为特征方程的特征方程的单根，故根，故设特解特解为从而从而带入原方程，可解得入原方程，可解得A=1，于是得原方程的通解，于是得原方程的通解为（（ii））第二种形式非齐次项（指、三、多组合）第二种形式非齐次项（指、三、多组合）（（2））其中其中是常数，是常数，与与分别是分别是 次和次和次次多项式。

取多项式取，则方程（，则方程（2）的待定解）的待定解具有如下形式：具有如下形式：（（2*））其中其中与与均为均为n次多项式；次多项式；k是复数是复数作为特征方程根的重数作为特征方程根的重数由于导出过程需要一些复变函数的知识，略去由于导出过程需要一些复变函数的知识，略去【【例例4-32】】方程方程 具有具有什么形式的特解？什么形式的特解？解：因特征方程解：因特征方程 的特征根的特征根为 是是1重特征根，故重特征根，故k=1；；Al(x)=x，，l=1，，Bn(x)=2，，n=0，，m=max{l,n}=1，故，故设Pm(x)=a0x+a1，，Qm(x)=b0x+b1．于是，特解形式．于是，特解形式为【【例例4-33】】求微分方程求微分方程 的一个特解的一个特解.解：因特征方程解：因特征方程 的特征根的特征根为而而 不是特征根，故不是特征根，故k=0;又又故特解可故特解可设为带入原方程得入原方程得先比先比较cos2x,sin2x同同类项系数，得系数，得再比再比较x的同次的同次幂系数，得系数，得解得：解得： 于是求得一个特解于是求得一个特解为接续接续【【例例4-33】】【【例例4-34】】求微分方程求微分方程 的通解的通解.（（iii）非齐次项是上述两种类型之和。

非齐次项是上述两种类型之和此类方程，可利用叠加原理（即微分算子的线性性质）此类方程，可利用叠加原理（即微分算子的线性性质）分别求得特解然后相加即可下面以例子说明分别求得特解然后相加即可下面以例子说明分别求出分别求出的特解：的特解： 和和，，则则是原方程的一个特解再求出对应是原方程的一个特解再求出对应齐次方程的通解，相加即得原方程的通解齐次方程的通解，相加即得原方程的通解下面给出具体的计算过程下面给出具体的计算过程解：方程右端解：方程右端f (x)=x+cosx是由两是由两项组成的．根据成的．根据4.4.1节定理定理4-6的叠加原理，可分的叠加原理，可分别求出方程求出方程相相应的的 特解分特解分别记为 与与 ．．因特征方程因特征方程 的特征根的特征根为 ，故，故 原原方程方程对应的的齐次微分方程的通解次微分方程的通解为设方程方程 的特解的特解为 =Ax+B，，带入方程可解入方程可解得得B=0，，A=1．从而．从而 = x．．接续接续【【例例4-34】】 故所求方程的通解故所求方程的通解为设方程方程 的特解的特解为 将其将其带入方程，可得入方程，可得 ．因而．因而 于是可知原方程的一个特解于是可知原方程的一个特解为接续接续【【例例4-34】】4 某些变系数线性微分方程的解法某些变系数线性微分方程的解法 此类方程只有很特殊的情况有某种解法。

此类方程只有很特殊的情况有某种解法1）欧拉方程）欧拉方程其中其中解此方程的唯一技巧是经过一个特殊的解此方程的唯一技巧是经过一个特殊的变换使方程转化为一个常系数线性方程变换使方程转化为一个常系数线性方程 令令定义算子符号定义算子符号 ：：，则有，则有经上述变换，原方程可转化为一个关于经上述变换，原方程可转化为一个关于的的n阶阶常系数线性方程解之，并带回原来变量即可常系数线性方程解之，并带回原来变量即可例例4-36】】求解方程求解方程解：解：这是欧拉方程．令是欧拉方程．令x=e t 或或 t=lnx，并利用上面引入，并利用上面引入的微分算子符号，可直接将的微分算子符号，可直接将变换后的方程写成后的方程写成即即或或这是关于是关于y(t)的二的二阶常系数非常系数非齐次次线性微分方程，求得性微分方程，求得通解通解为 再将再将 t 换成成 lnx，即得，即得解：解：这是欧拉方程．令是欧拉方程．令则原方程可写成原方程可写成即即或或这是关于是关于 的三的三阶常系数常系数齐次次线性微分方程，容易求性微分方程，容易求出通解出通解为把把 换成成lnt，得，得【【例例4-37】】求解方程求解方程（（ii）通过已知解可以降阶的方程）通过已知解可以降阶的方程-降阶法降阶法类似于解代数方程，如果知道代数方程的一个解，类似于解代数方程，如果知道代数方程的一个解，则可以约掉一个一次因式，使得方程的次数降低一次。

则可以约掉一个一次因式，使得方程的次数降低一次对于高阶齐次微分方程，也有类似的方法但过程要对于高阶齐次微分方程，也有类似的方法但过程要稍稍复杂一点仅以二阶齐次方程为例作介绍稍稍复杂一点仅以二阶齐次方程为例作介绍 设二阶齐次方程为：设二阶齐次方程为：（（3））并且已知方程的一个非并且已知方程的一个非0解解，可设另一个与，可设另一个与线性无关的解形如：线性无关的解形如：，代入方程（，代入方程（3），），可得如下方程可得如下方程即即，这在本质上已经是一个一，这在本质上已经是一个一阶齐次线性微分方程了，并且可分离变量阶齐次线性微分方程了，并且可分离变量【【例例4-38】】容易验证容易验证 是齐次线性微分方程是齐次线性微分方程的一个解，求此方程的通解．的一个解，求此方程的通解．解：令解：令y=e xz，，则带入原方程，并整理，得入原方程，并整理，得令令 ，，则上式上式变为这是一是一阶可分离可分离变量方程，易知其通解量方程，易知其通解为再再积分，得分，得所以原方程的通解所以原方程的通解为其中其中c1，，c2为任意常数．任意常数．接续接续【【例例4-38】】附录：附录：齐次线性微分方程解的结构问题齐次线性微分方程解的结构问题1）线性空间，基与空间维数，线性映射；）线性空间，基与空间维数，线性映射；2）子空间与）子空间与“超平面超平面”概念概念-它们的区别；它们的区别；3）由空间中一组向量）由空间中一组向量“张成张成”（生成）的子空间；（生成）的子空间；4）线性映射的映射像与映射核）线性映射的映射像与映射核 -像空间与核空间（子空间）。

像空间与核空间（子空间）5）线性空间的同构概念）线性空间的同构概念-同构的充要条件同构的充要条件 下面从线性映射的观点阐述线性微分方程所表现的下面从线性映射的观点阐述线性微分方程所表现的的关系 1.关于线性空间与线性映射的一些基础知识关于线性空间与线性映射的一些基础知识2. 线性微分方程与线性映射（从映射观点看方程）线性微分方程与线性映射（从映射观点看方程） 一般的（一般的（n 阶）线性微分方程为如下形式：阶）线性微分方程为如下形式：（1）该方程对应的齐次方程为：该方程对应的齐次方程为：（2）如果引入算子符号如果引入算子符号即有：则可以将则可以将看做一个映射看做一个映射为了便于说明，在这里引进几个记号：为了便于说明，在这里引进几个记号：；；易知，易知， 与与 都是线性空间（向量空间）都是线性空间（向量空间） 而而L，，显然是从显然是从 到到 的一个线性映射，的一个线性映射，即有：即有：其中的其中的 和和 都是常数都是常数3） 按照这个观点求解微分方程按照这个观点求解微分方程（1），其实就是求其实就是求得得 中的元中的元 （注意它是一个函数）使得：（注意它是一个函数）使得：（4） 而求解齐次线性微分方程而求解齐次线性微分方程（2），即要完整表示下面即要完整表示下面的集合：的集合： 我们知道线性代数中的一个基本定理：我们知道线性代数中的一个基本定理：任何任何n维向维向量空间中的任意量空间中的任意n个线性无关向量，构成该空间的一个线性无关向量，构成该空间的一组基，即空间中任何向量都可以表示为这组向量的线组基，即空间中任何向量都可以表示为这组向量的线性组合，且表法唯一（性组合，且表法唯一（注：但基的组成并非唯一的注：但基的组成并非唯一的））。

为此，我们需要先搞清楚这个集合的结构为此，我们需要先搞清楚这个集合的结构 先说明基本想法我们希望证明，上述齐次线性方先说明基本想法我们希望证明，上述齐次线性方程组的通解集合，同构于程组的通解集合，同构于n维向量空间得到这个结维向量空间得到这个结论，也就彻底搞清楚了齐次线性方程组解的结构了论，也就彻底搞清楚了齐次线性方程组解的结构了 显然，如果能够证明齐次方程显然，如果能够证明齐次方程（2）的解空间线性的解空间线性同构同构于由于由n元有序数组所构成的元有序数组所构成的n维向量空间维向量空间便立刻有如下结论便立刻有如下结论齐次线性微分方程通解的结构定理齐次线性微分方程通解的结构定理（教材定理（教材定理4-4））设设是齐次方程是齐次方程（2）的一组特解，且的一组特解，且它们线性无关，则方程它们线性无关，则方程（2）的通解表示形式为：的通解表示形式为：（5）其中其中表示任意常数项表示任意常数项注：与求积分作类比，所谓方程的通解，就相当于注：与求积分作类比，所谓方程的通解，就相当于不定积分；而所谓特解，就相当于一个原函数不定积分；而所谓特解，就相当于一个原函数 由前面的讨论我们已经知道，由前面的讨论我们已经知道，与与都是线性空间（向量空间）。

而都是线性空间（向量空间）而则是由则是由到到的线性映射因此的线性映射因此，，即方程即方程（2）的解集，也是一个线性空间（的解集，也是一个线性空间（的一个子空间）的一个子空间） 证明证明是一个是一个n维向量维向量空间的关键是如下一个重要的定理空间的关键是如下一个重要的定理该定理的证明不作要求，故略去其证明该定理的证明不作要求，故略去其证明基本定理（线性微分方程解的存在及唯一性定理）基本定理（线性微分方程解的存在及唯一性定理）（注：这是对教材中定理（注：这是对教材中定理4-1稍作修改的一个陈述）稍作修改的一个陈述）设设与与都是在闭区间都是在闭区间上连续的函数上连续的函数是是中任意一点，则中任意一点，则对任意一个对任意一个n元有序数组元有序数组存在唯一的函数存在唯一的函数是方程是方程（1）满足初始满足初始条件条件的解（特解）的解（特解）如果引入一个映射符号如果引入一个映射符号 ：对任意：对任意，， 那么前述基本定理表明，这个映射那么前述基本定理表明，这个映射是从方程是从方程（1）的解集到的解集到的一个双射这意味方程的一个双射这意味方程（1）的解集的解集相当于一个相当于一个n维的超平面。

但是它不见得构成一个维的超平面但是它不见得构成一个向量空间，除非方程是齐次的，即向量空间，除非方程是齐次的，即 而当而当 时，上述定理表明，齐次方程时，上述定理表明，齐次方程（2）的解的解集是与集是与 同构的线性空间，因此也是同构的线性空间，因此也是n维的 至此，前述所有结论都已经得到了证明（基本定至此，前述所有结论都已经得到了证明（基本定理除外）简单总结，此略）理除外）简单总结，此略）（（3）关于函数的线性相关与线性无关关于函数的线性相关与线性无关例例4-22】】证明在任何区间证明在任何区间I上，上，（（1）函数组）函数组 是线性相关的；是线性相关的；（（2）函数组）函数组 是线性无关的是线性无关的. 至此，对于前面提出的几个问题，都给出了解答至此，对于前面提出的几个问题，都给出了解答 本节内容，在理论上解决了本节内容，在理论上解决了n阶线性微分方程解的阶线性微分方程解的结构刻画问题结构刻画问题 从计算的角度讲，仅仅给出了常系数线性微分方程从计算的角度讲，仅仅给出了常系数线性微分方程在非齐次项是某些特定类型函数情况下的解法。

在非齐次项是某些特定类型函数情况下的解法 当阶数高于当阶数高于4的情况，这个计算方法，也有局限性的情况，这个计算方法，也有局限性 因为我们没有解析方法解出五次以上的代数方程因为我们没有解析方法解出五次以上的代数方程线性微分方程组线性微分方程组1 线性微分方程组通解的结构线性微分方程组通解的结构2常系数齐次线性常系数齐次线性 微分方程组的解法微分方程组的解法3 常系数非齐次常系数非齐次 微分方程组的解法微分方程组的解法1 线性微分方程组解的结构线性微分方程组解的结构 在前面讨论高阶线性微分方程时我们已经知道，只在前面讨论高阶线性微分方程时我们已经知道，只有搞清楚了微分方程组解的结构，才能够有目标的有搞清楚了微分方程组解的结构，才能够有目标的寻找所要求得的解寻找所要求得的解 后面后面“解的存在及唯一性定理解的存在及唯一性定理”，和前面一样，，和前面一样，应该是线性微分方程组理论的一个基本定理，它对应该是线性微分方程组理论的一个基本定理，它对于搞清楚解的结构具有关键性的意义于搞清楚解的结构具有关键性的意义这里约定相关的表示符号，一个线性微分方程组用这里约定相关的表示符号，一个线性微分方程组用常见的向量符号，可以表示为如下形式：常见的向量符号，可以表示为如下形式：（（1））对应的齐次方程组便是：对应的齐次方程组便是：（（2））；；；；；；。

其中其中 也可也可以表示常以表示常数矩阵注：注： 这里假设关于向量和矩阵的导数、积分符号（包括这里假设关于向量和矩阵的导数、积分符号（包括矩阵乘积的求导公式）的意义和形式是已知的矩阵乘积的求导公式）的意义和形式是已知的定理（定理（4-7））设方程设方程（１）（１）中所涉及的向量和矩阵函中所涉及的向量和矩阵函数在闭区间数在闭区间［ａ，ｂ］［ａ，ｂ］上连续，　是上连续，　是［ａ，ｂ］中任［ａ，ｂ］中任意意一点则对任意一点则对任意ｎｎ元有序数组（向量）　，存在唯元有序数组（向量）　，存在唯一的向量函数　　是方程（１）的解，并满足初始条一的向量函数　　是方程（１）的解，并满足初始条件　　　　　件　　　　　类似于高阶方程解的结构定理，可知方程组（类似于高阶方程解的结构定理，可知方程组（1））的解集同构于一个的解集同构于一个n维超平面如果方程是齐次的，维超平面如果方程是齐次的，则方程的解集便同构于则方程的解集便同构于n维线性空间（即定理维线性空间（即定理4-8）而方程（而方程（1）的通解可以表示为一个特解与其对应）的通解可以表示为一个特解与其对应（（i）基本结论）基本结论次方程组的通解之和（定理次方程组的通解之和（定理4-9）。

ii）几个派生概念和线性无关解的判定条件）几个派生概念和线性无关解的判定条件朗斯基（朗斯基（Wronski）行列式（也是一个函数）；）行列式（也是一个函数）；解矩阵；解矩阵；基本解组与基解矩阵（基本解组的矩阵）基本解组与基解矩阵（基本解组的矩阵） 一个判定条件一个判定条件：齐次方程组的一个解矩阵是基解：齐次方程组的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是该矩阵的行列式（朗斯基行列式）矩阵的充要条件是该矩阵的行列式（朗斯基行列式）在某点处不为在某点处不为0. 注：仅做简要说明，对此条件不做深入讨论注：仅做简要说明，对此条件不做深入讨论于是，方程组（于是，方程组（1）的通解表示形式为）的通解表示形式为其中其中是对应齐次方程组的一个基解矩阵；是对应齐次方程组的一个基解矩阵； 是是任意任意n元有序数组（由列向量表示）；元有序数组（由列向量表示）；是方程组是方程组（（1）的一个特解的一个特解很显然，对应的齐次方程组的通很显然，对应的齐次方程组的通解表示形式为：解表示形式为：2.常系数齐次线性方程组的解法常系数齐次线性方程组的解法 还是只有常系数线性方程组有具体的解法，特别是还是只有常系数线性方程组有具体的解法，特别是齐次线性方程组，可以基本上归结为代数解法。

深入齐次线性方程组，可以基本上归结为代数解法深入的讨论需要较多一些的线性代数知识（矩阵相似分类的讨论需要较多一些的线性代数知识（矩阵相似分类理论）这里仅仅给出基本思路和解题步骤，不做详理论）这里仅仅给出基本思路和解题步骤，不做详细讨论（（i）欧拉待定指数法）欧拉待定指数法-猜测与推导猜测与推导 猜测（其实也是在熟悉的情况下的直观推测）常系猜测（其实也是在熟悉的情况下的直观推测）常系数齐次线性方程组的解具有如下形式：数齐次线性方程组的解具有如下形式：则有如下矩阵方程：则有如下矩阵方程：即即，，（（3）综上可以看出，解齐次方程组（综上可以看出，解齐次方程组（2）便）便大体上大体上可以可以归结为求解常数矩阵归结为求解常数矩阵 的特征值与特征向量了的特征值与特征向量了不难看出，如果向量不难看出，如果向量与数（可能是复数）与数（可能是复数） 使使得（得（3）式成立，则上述猜测的解，也确实满足对）式成立，则上述猜测的解，也确实满足对应的齐次方程组（应的齐次方程组（2） 之所以说解常系数齐次线性方程组（之所以说解常系数齐次线性方程组（2），大体上可），大体上可以归结为求解特征值与特征向量，是因为分两种情况，以归结为求解特征值与特征向量，是因为分两种情况，第二种情况涉及求导数，而不仅仅是代数运算。

第二种情况涉及求导数，而不仅仅是代数运算i）如果系数矩阵）如果系数矩阵有有n个互不相关的特征向量，个互不相关的特征向量，分别对应于分别对应于n个特征值，那么方程（个特征值，那么方程（2）的基解矩阵为）的基解矩阵为回顾一点线性代数知识，矩阵回顾一点线性代数知识，矩阵的特征值，就是的特征值，就是关于关于 为未知元的为未知元的n次方程次方程（（4））的根由于的根由于n次方程总有次方程总有n个根，所以特征值也可以个根，所以特征值也可以认为有认为有n个但是由于有重根，所以所谓个但是由于有重根，所以所谓n个特征值，个特征值，不同的值却不见得有不同的值却不见得有n个方程（个方程（4）也称为矩阵）也称为矩阵 的特征方程的特征方程因为对应的朗斯基行列式在因为对应的朗斯基行列式在0点处为点处为可得结论（定理可得结论（定理4-10：即由：即由n个独立向量所得到的个独立向量所得到的n个个解构成基础解系）此时求解便都是代数运算了解构成基础解系）此时求解便都是代数运算了注注1：从线性代数的结论看，这意味着系数矩阵：从线性代数的结论看，这意味着系数矩阵与对角矩阵相似与对角矩阵相似注注2：由于特征根可能是复数，于是所得的解也是：由于特征根可能是复数，于是所得的解也是复数形式。

但系数都是实数，复数根必共轭出现复数形式但系数都是实数，复数根必共轭出现于是可经简单组合将复数解变换为线性等价实数解于是可经简单组合将复数解变换为线性等价实数解其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值，的特征值， 是对应于是对应于 的特征向量的特征向量【【例例4-39】】求解方程组求解方程组其中，其中，（（a））有有n个互不相等的实特征值个互不相等的实特征值解：特征方程解：特征方程为特征特征值为 对于第（对于第（i）种情况，我们再分（）种情况，我们再分（a）（）（b）（）（c）三）三种类型，分别举例介绍其计算方法种类型，分别举例介绍其计算方法可可见，方程，方程组的通解的通解为当当 时，它，它对应的特征向量的特征向量 满足足 ；取；取 ，，则 ，所以特征向量，所以特征向量接续接续【【例例4-39】】求解方程组求解方程组：：或或其中，其中，c1，，c2为任意常数．任意常数．【【例例4-40】】求解初值问题求解初值问题（（b））特征值互不相同，但是有复数值特征值互不相同，但是有复数值。

解：特征方程解：特征方程为 接续接续【【例例4-40】】特征特征值为 求出求出对应的特征向量分的特征向量分别为 ．．对应的解的解为为了求了求实向量解，取基本解向量解，取基本解组：：故所求的特解故所求的特解为解得解得 接续接续【【例例4-40】】带入初始条件于入初始条件于 ，有，有（（c））特征根有重根，即有重特征值，但对应这个特征根有重根，即有重特征值，但对应这个特征值的无关特征向量的个数与其重数相同特征值的无关特征向量的个数与其重数相同例例4-41】】求解方程组求解方程组解：特征方程解：特征方程为特征特征值为 （二重根）．（二重根）． 接续接续【【例例4-41】】对应于于 的特征向量的特征向量为对应于于 的特征向量的特征向量满足方程足方程由于矩由于矩阵A-(-1)E的秩的秩为1，故得到两个，故得到两个线性无关的特征性无关的特征向量向量其中其中c1,c2,c3为任意常数．任意常数．从而由式从而由式(10)，即，即可得此方程可得此方程组的通解的通解为（（ii）特征向量的个数不充分的情况，即存在重特）特征向量的个数不充分的情况，即存在重特征值，其对应的无关特征向量的个数少于其重数。

征值，其对应的无关特征向量的个数少于其重数注：此时系数矩阵相似与一种准对角矩阵（非对角注：此时系数矩阵相似与一种准对角矩阵（非对角的若尔当的若尔当-Jordan-型矩阵）型矩阵）对于此类情况，这里仅介绍一种求解的待定系数法对于此类情况，这里仅介绍一种求解的待定系数法 设设 是特征值，重数为是特征值，重数为k，但没有，但没有k个无关的特征向量个无关的特征向量用待定系数法确定用待定系数法确定k个对应于个对应于 的线性无关的解的线性无关的解 该解法分四个步骤：该解法分四个步骤：第一，设待定解的形式第一，设待定解的形式（（5））注：从本质上讲，这里注：从本质上讲，这里还是常数变易法！还是常数变易法！第二，代入方程，即得如下方程第二，代入方程，即得如下方程其中其中 是是k-1次多项式，其系数待定次多项式，其系数待定 比较两边多项式关于比较两边多项式关于x 同次项的系数，列出关于同次项的系数，列出关于系数的线性方程组系数的线性方程组第三，解出这些线性方程组（纯代数方程），即得到第三，解出这些线性方程组（纯代数方程），即得到所需要的各个多项式系数。

于是可得齐次方程的所需要的各个多项式系数于是可得齐次方程的k个个解 但是在解出求解多项式系数的线性方程式时，需要但是在解出求解多项式系数的线性方程式时，需要解出解出k 个线性无关的解并且确实也只有个线性无关的解并且确实也只有k个线性无个线性无关的解，证明这一点涉及较深入的线性代数的理论和关的解，证明这一点涉及较深入的线性代数的理论和较多篇幅后面仅仅给一个简要说明较多篇幅后面仅仅给一个简要说明即即第四，将其它第四，将其它n-k个无关解与这里得到的个无关解与这里得到的k 个解合并个解合并在一起组成方程组（在一起组成方程组（2）的一个基础解系的一个基础解系例例4-42】】求方程组求方程组 的通解．的通解．解：特征方程解：特征方程为特征特征值为 ，二重根，故，二重根，故k=2．并且．并且对应于于这个特个特征征值的特征向量只有一个故按上面所述步的特征向量只有一个故按上面所述步骤解：解：步步骤1 设 接续接续【【例例4-42】】步步骤2 将上述解的表达式将上述解的表达式带入下式入下式比比较x的同次的同次幂系数，得到关于系数，得到关于a1,a2,b1,b2的四元的四元线性代性代数方程数方程组即有即有得得步步骤3 求解此求解此线性代数方程性代数方程组，其系数，其系数阵的秩的秩为2，，故有两个故有两个线性无关解性无关解即即注：注：教材计算有误（可能印刷问题），但下面是对的教材计算有误（可能印刷问题），但下面是对的。

步步骤4 写出通解写出通解为取取 ，，得微分方程组的另一线得微分方程组的另一线性无关解为性无关解为其中其中c1,c2为任意常数．任意常数．取取 ，，得微分方程得微分方程组的一个解的一个解为【【例例4-43】】求解初值问题求解初值问题3.常系数非齐次线性方程组的解法常系数非齐次线性方程组的解法 类似于一阶非齐次微分方程的解法，这里依然用所类似于一阶非齐次微分方程的解法，这里依然用所谓常数变易法，假设对应方程组（谓常数变易法，假设对应方程组（1）的齐次方程组）的齐次方程组（（2）的基解矩阵为）的基解矩阵为 ，设方程组（，设方程组（1）的解为）的解为代入方程组（代入方程组（1）可得：）可得：，即有，即有（（1）的通解便是：）的通解便是： 接续接续【【例例4-43】】解：特征方程解：特征方程的特征的特征值为 ．．对应的特征向量分的特征向量分别为化化为实的基解矩的基解矩阵为复的基解矩复的基解矩阵为特解特解为所以通解所以通解为其中其中 为任意常数．任意常数．带入初始条件得入初始条件得解得解得 所以初所以初值问题的解的解为若令若令 ，，则上式可写成上式可写成本章小结本章小结 迄今为止，我们可解出的微分方程，就是两大类迄今为止，我们可解出的微分方程，就是两大类：：（（1））可分离变量（或者经过变换成为可分离变量可分离变量（或者经过变换成为可分离变量类型的方程），于是可以利用积分求解，这属于求类型的方程），于是可以利用积分求解，这属于求不定积分或原函数的直接推广。

不定积分或原函数的直接推广2）可以通过直觉猜测得到方程解的形式（从思）可以通过直觉猜测得到方程解的形式（从思想方法上看，也包括经常出现的常数变易法），然想方法上看，也包括经常出现的常数变易法），然后用待定系数法，将问题转化为求解代数方程后用待定系数法，将问题转化为求解代数方程 其实这不奇怪，毕竟我们知道的运算方法也就是其实这不奇怪，毕竟我们知道的运算方法也就是这些但是，还有特别重要的一个方面，就是数值这些但是，还有特别重要的一个方面，就是数值逼近这也需要构造各种逼近的方法这也需要构造各种逼近的方法 最后，应该深刻认识关于所求最后，应该深刻认识关于所求对象存在性和唯一性对象存在性和唯一性的理论探讨的理论探讨，已经看到这类理论所起到，已经看到这类理论所起到的关键意义的关键意义附录附录 记记；；多项式多项式；；矩阵矩阵向量向量；；就是就是 ，即，即 ：：由它确定的关于系数的方程由它确定的关于系数的方程则方程则方程可以写成：可以写成：（（6））（（7））由关系式（由关系式（7）可以看出以下两点：）可以看出以下两点：（（a）对于每个）对于每个由由所确定；所确定；（（b））。

由线性代数关于线性变换不变子空间的理论，可知由线性代数关于线性变换不变子空间的理论，可知当当 是是 的的k 重特征根时，重特征根时，是是k 维空间所以，确实可以解出所以，确实可以解出k 个线性无关的解个线性无关的解 其中，如果由上述过程所得到的其中，如果由上述过程所得到的 都不是都不是0，则，则k个解都可以由这些向量的简单组合得到个解都可以由这些向量的简单组合得到感兴趣者可以自己导出这些解的形式关系感兴趣者可以自己导出这些解的形式关系 当然事情并不是这么简单，当然事情并不是这么简单，例如可以考察右侧矩阵的情例如可以考察右侧矩阵的情况想想会怎样？况想想会怎样？。