不定积分凑微分法的思想与教学探析.doc

不定积分凑微分法的思想与教学探析【摘要】凑微分法是解不定积分的一种重要而乂难以掌握的方法. 本文给出了这种方法的简单易懂的一些规律，并将这些规律总结成一种行 之有效的解题方法，并用一些典型的例子说明了这种方法的有效性.【关键词】凑微分法；中间变量；复合函数凑微分法(也称为第一类换元积分法)是一种常用且重耍的基本积分 方法，其方法的运算过程与函数求导过程有着很大的联系.由于被积函数 的复杂性，可选用的公式的多样性及换元技巧的灵活性，初学此方法的同 学们即使了解了方法的整个过程，但是具体解题时会遇到各种各样的问 题，即使是学了此方法很久的同学也深有同感•本文在大量实例的研究皋 础上，提出了一种简单易学的解题方法，此方法可以使初学者更快地入门, 进而通过练习，可以很快地掌握凑微分法的基本思想及方法.一、基本理论与规律1・凑微分法的主要定理定理设f (u), 4)(x), (X)都是连续函数，函数F (u)为f(u)的一个原函数，则jf[© (x) (x) dx二 jf[© (x) ]d 4) (x)二 f[© (x)]+C.2.主要规律由上述定理，我们可以得到关于凑微分法的基本规律如下:（1） 凑微分法的被积函数一般是一个复合函数和其他函数的乘积形 式，这可以作为使用此种方法的重要特征.（2） 此种方法的基本思想是化繁为简，即通过凑微分和换元将被积 函数变为基本初等函数再用公式计算即可.（3） 此方法可看成复合函数求导的逆过程.二、基本方法由基本定理和上述规律可见，在学习具体方法之前，首先有几个准备 工作必须完成：（1） 耍清楚适用丁此类方法的积分要具有什么特征，即在被积函数 中一定有复合函数；（2） 常用到的一些凑微分形式必须熟练掌握，如3dx二d （3x+l）, xdx=112dx2, llxdx=dln|x|, exdx=dex, cosxdx二dsinx, llx2dx=-dllx 等 等；（3） 要对每个基本积分公式非常熟悉，以便凑微分后可以准确、快 速地写出积分结果.基于上述讨论，下面给出运用凑微分法解题的基本步骤如下：（1） 找关键：观察被积函数之中是否含有复合函数，若有，找出复 合函数中的中间变量u二e（X）,这样，凑微分就有了目标，©（X）是否 能够准确地找出来是凑微分法能否继续进行的关键；（2） 凑微分：知道了 e （x）,就知道了冃标就是凑出de （x）,再根 据被积函数给出的其他部分凑出d© （x）；（3）选公式：观察凑微分之后的积分形式（必要时需换元），确定用哪个基本公式；(4) 写结果：根据选用的公式写出积分结果(若换元记得还要还原).三、具体例子下面通过儿个例子来阐述使用上述方法的解题思路.例 1 f 11 (3x-5) 2dx.分析按照上述方法，第一步，要判定此积分被积函数中是否含有复合 函数•显然，ll(3x-5)2=(3x-5)-2为复合函数,故可以找到e (x)=3x-5. 第二步，我们知道了目标是将dx经过凑微分变为d (3x-5).现将解题步 骤书写如下：f 11 (3x-5) 2dx=113 f 11 (3x-5) 2d (3x-5)(确定使用的公式为 f llu2dx=-llu+C)=-113 • 113x-5+C.例 2 f llx (l+21nx) dx.分析被积函数llx(l+21nx)可看成乘积llx •lll+21nx,其中lll+21nx= (l+21nx) T为复合函数,则此题的4)(x) =l+21nx.目标为凑出dlnx, 而做到这一点非常容易•具体过程如下：f llx (l+21nx) dx二 j lll+21nx • llxdx=/ lll+21nxdlnx=112/lll+21nxd (l+21nx)(确定使用的公式为f lludx二lnu+C)=1121nl+21nx+C.当然，我们提出的方法在具体使用中远不止像上面两例那么简单.比 如下而的例子.例 3 jsinxcosxll+sin4xdx.分析我们还是按照上述方法进彳亍分析•被积函数sinxcosxl l+sin4x可 看成乘积lll+sin4x • sinxcosx,其中复合函数部分为lll+sin4x,故要 找到 © (x)二l+sin4x.。