专题八 距离空间的列紧性与紧性（硕）投）.ppt

•距离空间的列紧性与紧性距离空间的列紧性与紧性 实数集中的列紧性（致密性）实数集中的列紧性（致密性） 专题专题2 距离空间的列紧性距离空间的列紧性全有界性与紧性全有界性与紧性•距离空间的全有界性距离空间的全有界性 实数的有界性实数的有界性 •距离空间的列紧性与紧性距离空间的列紧性与紧性 实数集中的有限覆盖实数集中的有限覆盖  已知已知：在实直线上，有波尔查诺：在实直线上，有波尔查诺··维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯““列紧性定理列紧性定理””成立，而且与完备性定理是相互等价成立，而且与完备性定理是相互等价的 问题问题1：：在一般的距离空间中，列紧性定理是否在一般的距离空间中，列紧性定理是否也成立？也成立？ 一、距离空间的列紧性在点集在点集E上上, 函数列函数列{fn(x)}一致收敛于一致收敛于f(x)定理定理6 (柯西定理柯西定理)  x E, {fn(x)}是基本列是基本列 >0,  x E,  N=N( ), 当当m, n>N时时, 有有fm(x)-fn(x)< 引例引例1 1 考察闭区间考察闭区间[0,1][0,1]上的连续函数序列上的连续函数序列{xn} C[0,1]: xn=xn(t)=tn (n=1,2,…) {xn} C[0,1]是有界点列是有界点列 。

但是，但是，{xn} C[0,1]是没有收敛子列是没有收敛子列 事实上，事实上，若若 子列子列{xnk} {xn}, 使使xnkx C[0,1]这与这与x(t)在在[0,1]上连续矛盾上连续矛盾结论：结论：在一般的距离空间在一般的距离空间( (即使是完备的即使是完备的) )中，中， 有界点有界点列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立引例引例2 C[0,1]2 C[0,1]中的点列：中的点列： 显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列 事实上，若事实上，若 子列子列{xnk} {xn}, 使使xnkx C[0,1]函数子列函数子列{xnk(t)} 在在[0,1]上一致收敛于上一致收敛于x(t)这与这与x(t)在在[0,1]上连续矛盾上连续矛盾定义定义5.1 (列紧集与列紧空间列紧集与列紧空间) 设设X是距离空间，是距离空间，A X. (1) 如果如果 {xn} A,  子列子列{xnk} {xn},使使xnkx X(k),则称则称A是是列紧集列紧集。

(2) 如果如果A是列紧闭集，即是列紧闭集，即 {xn} A,  子列子列{xnk} {xn}, 使使xnkx A(k),则称则称A是是自列紧集自列紧集 (3) 如果如果X本身是本身是(自自)列紧集，即列紧集，即 {xn} X,  子列子列{xnk} {xn}, 使使xnkx X(k), 则称则称X是是列紧空间列紧空间注注 1）自列紧集）自列紧集列紧闭集列紧闭集 对全空间对全空间X而言，列紧而言，列紧自列紧自列紧列紧闭列紧闭. 2）维尔斯特拉斯）维尔斯特拉斯“列紧性定理列紧性定理”可以表述为：可以表述为： R中的任何有界集都是列紧集中的任何有界集都是列紧集定理定理5.1 (列紧集的性质列紧集的性质) 设设X是距离空间，则是距离空间，则 (1) X中的任何有限点集都是列紧集中的任何有限点集都是列紧集; (有限点集是常驻点有限点集是常驻点列列) (2) 在在X中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧 集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集；集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集； (3) 若若A X, 则则A列紧集列紧集A是自列紧集是自列紧集证证 (3) “” 设设A X列紧列紧  {xn} Axn A, 或或xn A’ xn A，，A列紧列紧{xnk} {xn} A, xnkx A’ A xn A’yn A,  (xn,yn)<1/n (n=1,2,…) 又又A列紧列紧子列子列{ynk} {yn}, ynky A (k) (ynk,y)0 (k) (xnk,y)(xnk,ynk)+ (ynk,y)<1/nk+ (ynk,y)0(k) {xnk} {xn} A, xnky AA列紧闭列紧闭 A自列紧自列紧“” 设设A自列紧自列紧A A是列紧是列紧A列紧列紧 ( (列紧集的子集是列紧集列紧集的子集是列紧集) )定理定理5.2 (列紧空间的性质列紧空间的性质) X是是列紧的列紧的距离空间距离空间X是完备距离空间是完备距离空间X中的自列紧集中的自列紧集A是是X的完备子空间。

的完备子空间 但反之不然但反之不然证证 设设X是列紧空间，是列紧空间， {xn} X是基本列是基本列 X列紧列紧子列子列{xnk} {xn}, xnkx X {xn} X是基本列是基本列 >0,  N, 当当n,nk>N时时, 有有 (xn, xnk)<   当当n>N, k时时,有有 (x, xn)=lim (xnk,xn) ( (距离函数连续性距离函数连续性) ) xnx X (n) X完备完备 但反之不然例如，但反之不然例如，R是完备距离空间，但序列是完备距离空间，但序列 {n} R中没有任何收敛子列，因而中没有任何收敛子列，因而R不是列紧空间不是列紧空间 然而，然而，R中的任何有界集都是列紧集中的任何有界集都是列紧集。

 二、距离空间的全有界性1 —网与全有界集网与全有界集定义定义5.2 ( —网网) 设设X是距离空间，是距离空间，A X, B X. 如果如果>0, A能被能被B中各点的中各点的 开球开球S(x, )的全体所覆盖，即的全体所覆盖，即则称则称B是是A的一个的一个 —网例例1 R2中一切整数格点所构成的集中一切整数格点所构成的集 A={(m,n)|m,n Z}构成了构成了R2的一个的一个3/4—网 例例2 设设A={(x,y)|x,y为为无理数无理数}, B={(x,y)|x,y Q}, 则则>0, B都构成了都构成了A的一个的一个 —网，从而也构成了网，从而也构成了 R的一个的一个 —网由于有理数在（由于有理数在R R中的稠密性）中的稠密性）注注: 1））B是是A的一个的一个 —网网y A,  x B, 使使 (x,y)< ；； 2））A的的 —网可以是网可以是A的子集，也可以不是的子集，也可以不是A的子集的子集.定义定义5.3 (全有界集全有界集) 设设X是距离空间，是距离空间，A X. 如果如果>0,  A的有限的的有限的 —网网B={x1,x2,…,xn}, 则称则称A为为全有界集全有界集.例例3 闭区间闭区间[0,1]是是R中的全有界集。

中的全有界集 证证 >0, 取取n>1/ , 则有则有1/n< . 构造有限点集构造有限点集 B={0, 1/n, 2/n, …, (n-1)/n} [0,1] x,y B是相是相邻邻两点，有两点，有 (x,y)=1/n< . B 中各点的中各点的 开球的全体覆盖了开球的全体覆盖了A B是是[0,1]区区间间一个有限的一个有限的 —网网 [0,1]区区间间是全有界集是全有界集 注注 1) 对全有界集对全有界集A, 一定能找到它的有限一定能找到它的有限 —网网B A. 2) 全有界集全有界集A的有限的的有限的 —网的构造方法：网的构造方法： 首先，构造一个首先，构造一个 有限点集有限点集 B={x1,x2,…, xn} A；； 然后，选取网中个开球的公共半径然后，选取网中个开球的公共半径 ，， x,y B是相是相邻两点，有邻两点，有 (x,y)< .例例4 距离空距离空间间(X, )中的基本列构成一个全有界集中的基本列构成一个全有界集 证证 设设A={xn} X是一个基本列是一个基本列 >0,  N, 当当m,n>N时时,  (xm,xn)<  当当n>N, m=N+1时时,  (xN+1,xn)<  ,即即xn S(xN+1,  ) 构造有限集构造有限集B={x1,x2,…,xN+1} A xn S(xn, ) (n=1,2,…,N), xn S(xN+1, ) (n>N)  B 中各点的任意中各点的任意 开球的全体覆盖了开球的全体覆盖了A  >0，， B都是都是A的一个有限的的一个有限的 —网网 A是全有界集是全有界集定理定理5.3 (全有界集的性质全有界集的性质) 设设X是是距离空间，距离空间，A X是全是全有界集，则（有界集，则（1））A一定是有界集；一定是有界集； （（2））A一定是可分的。

一定是可分的证证 (1) A X是全有界集是全有界集 对对 =1,  A的一个有限的的一个有限的1—网网B ={x1,x2,…,xn} A x A,  k, 使使x S(xk,1), 即即 (xk,x)<1A有界2) A X是全有界集是全有界集 （只要证明（只要证明A A有可数的稠密子集）有可数的稠密子集） 对对 k=1/k,  A的有限的有限1/k—网网Bk={x1(k) ,x2(k),…,xnk(k)} A B在在A中稠密中稠密 ；又；又B A是至多可数集，故是至多可数集，故A可分可分.定理定理5.4 (全有界集的充要条件全有界集的充要条件) 设设X是是距离空间，距离空间，A X,则则A是全有界集是全有界集A中任何点列必存在基本子中任何点列必存在基本子列列证证 “” 设设A X是全有界集，是全有界集，  {xn} A，，对对 k=1/k,  A的有限的有限 k—网网Bk={x1(k) ,x2(k),…,xnk(k)} A,使使  “” 反反证证法法 设设 {xn} A有基本子列。

有基本子列 若若A X不是全有界集，不是全有界集， 0>0, A没有有限的没有有限的 0网网x1 A ,S(x1, 0)不能覆盖不能覆盖AA\S(x1, 0)非空非空x2 A\S(x1 , 0), S(x2, 0)S(x2, 0)不能覆盖不能覆盖AA\S(x1, 0) S(x2, 0)非空非空,  x3 A\S(x1, 0) S(x2, 0),…xn,xm {xn} A, 当当n>m时，有时，有 {xn}的每一个子列都不可能是基本列，矛盾的每一个子列都不可能是基本列，矛盾 因此，因此，A是全有界集是全有界集 定理定理5.5 (豪斯道夫定理豪斯道夫定理—全有界集与列紧集的关系全有界集与列紧集的关系) (1) 设设X是是距离空间，距离空间，A X是列紧集是列紧集A是全有界集是全有界集 (2) 设设X是完备距离空间是完备距离空间, 则则A X是列紧集是列紧集A是全有界是全有界集集证证 (1) 设设A X是列是列紧紧集集   {xn} A，， 子列子列{xn(k)}, xn(k)x X (k)  {xn(k)}是是{xn}的基本子列的基本子列 A是是全有界集。

全有界集 (2) “” 在在(1)中已中已证证 “” 设设A是全有界集，是全有界集，  {xn} A{xn}有基本子列有基本子列{xn(k)} X完完备备{xn(k)} {xn} A收收敛敛A是列是列紧紧集集2 全有界集与列紧集的关系全有界集与列紧集的关系注：注：在不完备的距离空间中在不完备的距离空间中, 全有界集不一定是列紧集全有界集不一定是列紧集.例如，例如，C[-1,1]按距离按距离不完不完备备，其中的点列，其中的点列{xn}: 是基本列，因而是基本列，因而A={xn}是是(C[-1,1], 1)中的全有界集，中的全有界集，但是它在但是它在C[-1,1]中没有收中没有收敛敛子列，故子列，故A={xn}不是列不是列紧紧集推论推论5.1 (有界集与列紧集的关系有界集与列紧集的关系) 设设X是是距离空间，距离空间， A X是列紧集是列紧集A是有界集是有界集推论推论5.2 (列紧集与可分集的关系列紧集与可分集的关系) 设设X是距离空间，是距离空间，则则 (1) A X是列紧集是列紧集A是可分集；是可分集； (2) X是列紧是列紧空间空间X是可分的。

是可分的 （（即列紧空间中存在一个稠密的可数子集即列紧空间中存在一个稠密的可数子集证证 (1) A X是列是列紧紧集集A是全有界集是全有界集A是可分集是可分集; (2) X是列是列紧紧空空间间 X是是全有界空全有界空间间X是可分空是可分空间间.证证 A是列是列紧紧集集  A是是全有界集全有界集A是有界集是有界集注注 在在R中，有中，有 1) A是列是列紧紧集集A是有界集是有界集 2) A是自列是自列紧紧集集A是列是列紧闭紧闭集集A是有界是有界闭闭集集3 几个常用距离空间中列紧集的特征几个常用距离空间中列紧集的特征定理定理5.6 (Rn中列紧集的特征中列紧集的特征) 设设A Rn, 则则 A是列紧集是列紧集A是有界集是有界集证证 若若A是列是列紧紧集集A是全有界集是全有界集A是有界集是有界集 若若A是有界集是有界集,  {xk} A Rn, xk={x1(k),x2(k),…,xn(k)} {xk} 是有界点列是有界点列 对对每个每个i (i=1,2,…,n), {xi(k)}是有界数列是有界数列 对对每个每个i (i=1,2,…), {xi(k)}存在收存在收敛敛子列，子列，设设证证 必要性必要性 设设A C[a,b]是列是列紧紧集集 (1) A是列紧集是列紧集A是有界集是有界集 (在距离意在距离意义义下）下） A是一致有界集是一致有界集 (在函数意在函数意义义下下) 定定义义5.4 (一致有界和等度一致有界和等度连续连续) 设设A C[a,b]，， 1) 如果如果  K>0, x(t) C[a,b ],有有|x(t)| K，，则则称称A是是一一 致有界致有界的的；； 2) 如果如果>0, ( )>0, 使使对对 x(t) C[a,b]及及  t1,t2 [a,b], 当当|t1 t2|< 时时, 有有|x(t1) x(t2)|< ，，则则称称 A是是等度连续等度连续的。

的 定理定理5.7 (C[a,b]中列紧集的特征中列紧集的特征) 设设A C[a,b], 则则 A是列紧集是列紧集A是一致有界且等度连续的是一致有界且等度连续的 ( (阿尔采拉阿尔采拉——阿斯可利阿斯可利( (Arzel-AscoliArzel-Ascoli) )定理定理) ) (2) A是列是列紧紧集集A是全有界集是全有界集 >0,  A的有限的有限 /3-网网{x1(t), x2(t),…,xn(t)} x(t) A,  xi(t)(1 i n), 使得使得 (xi,x)< /3 |xi(t) x(t)|< /3 (t [a,b]) xi(t) (i=1,2,…,n) C[a,b] xi(t) (i=1,2,…,n)在在[a,b]上均一致上均一致连续连续  ( )>0, 使得当使得当|t1-t2|< 时时, 有有 |xi(t1)-xi(t2)|< /3 (i=1,2,…,n) x(t) A, 当当|t1-t2|< 时时, 有有 |x(t1)-x(t2)| |x(t1)-xi(t1)|+|xi(t1)-xi(t2)|+|xi(t2)-x(t2)| < /3+ /3+ /3=  A是等度是等度连续连续的。

的充分性充分性 设设A C[a,b]是一致有界且等度是一致有界且等度连续连续的的 A一致有界一致有界,  {xn(t)} A, {rn}是是[a,b]中所有有理集合中所有有理集合  K>0, 使使|xn(r1)| K (n=1,2,…) {xn(r1)}是有界数列是有界数列 子列子列{x1n(t)} {xn(t)}在在t=r1处处收收敛敛 |x1n(r2) | K子列子列{x2n(t)} {x1n(t)}在在t=r1,r2处处收收敛敛 ……………..子列子列{xkn(t)} {x(k-1)n(t)}在在t=r1,r2,…,rk处处收收敛敛 (k=1,2,…){xnn(t)}在在[a,b]内的所有有理数内的所有有理数处处收收敛敛；； A等度等度连续连续>0, >0, x(t) A, 当当|t1-t2|< 时时, 有有 |x(t1)-x(t2)|N时时, |xmm(ri(0))-xnn(ri(0))|< /3 (i=1,2,..,k)当当m,n>N, t [a,b]时时, 有有 |xmm(t)-xnn(t)|  |xmm(t)-xmm(ri(0))|+|xmm(ri(0))-xnn(ri(0))|+|xnn(ri(0))-xnn(t)| < /3+ /3+ /3< {xnn(t)是是C[a,b]中的基本列中的基本列{xnn(t)是是{xn} C[a,b]中的收中的收敛敛子列子列 (X(X是完备距离空间是完备距离空间) )A是列是列紧紧集集 三、距离空间的紧性定义定义5.5 (紧集紧集) 设设X是距离空间，是距离空间，A X. 如果开集族如果开集族 {G }I覆盖覆盖A，即，即则在则在{G }I中必存在有限个开集中必存在有限个开集G1,G2,…,Gn覆盖覆盖A，，则称则称A为紧集。

为紧集1 紧集的概念与条件紧集的概念与条件定理定理6 6（有限覆盖定理（有限覆盖定理）在实直线上，若闭区间）在实直线上，若闭区间[ [a,b] ]能能由开区间族由开区间族E E所覆盖，则所覆盖，则[ [a,b] ]一定能由一定能由E E中有限个开区中有限个开区间所覆盖，因而闭区间间所覆盖，因而闭区间[a,b][a,b]一定是紧集一定是紧集 证证：：(反证法反证法) 设设[a,b]不能被不能被E中有限个开区间所覆盖，中有限个开区间所覆盖，将将[a,b]二等分二等分,记记不被不被E中有限个开区间所覆盖中有限个开区间所覆盖子区间为子区间为 [a1,b1]；；再将再将[a1,b1]二等分，二等分，记记不被不被E中有限个开区间所中有限个开区间所覆盖覆盖子区间为子区间为 [a2,b2]；；…可得一闭区间列可得一闭区间列{[an,bn]}, 满满足：足：存在唯一存在唯一c [a,b],2））[a1,b1] [a2,b2] …  [an,bn]  …3））区间长度区间长度bn- an=1/2n0（（n ））1））每个每个[an,bn] (n=1,2,…)都都不能被不能被E中有限个开区间所覆盖中有限个开区间所覆盖[ [a,b] ]被被E E覆盖覆盖( ( , ,  ) ) E ,E ,使使c  ( ( , ,  ) )N,N,当当n>N时时,有有 n. 一方面，一方面，A是是紧紧集集A是列是列紧闭紧闭集集 存在子列存在子列{xnk} {xn}, 使得使得xnkx0 A f(xnk)f(x0) (k) (因为因为f(xf(x) )在上连续在上连续) 另一方面，另一方面， f(xnk)>nkf(xnk) (k) 矛盾。

矛盾 故故f(x)在在A上有界上有界 证证 设设 =supf(x) (x A) 对对任意任意n,  {xn} A, 使使1/n

定理定理5.10 (一致连续性一致连续性) 设设X是距离空间，是距离空间， A X是是紧紧集集, f (x)是连续是连续(泛泛)函数，则函数，则 f(x) 在在A上是一致连续上是一致连续的 （（ 证明类似于第一章有关定理）证明类似于第一章有关定理）小结：小结： 1. 在距离空间在距离空间X中，有如下关系：中，有如下关系： A是紧集是紧集  A是自列紧集是自列紧集  A是列紧闭集是列紧闭集2. 在欧氏空间在欧氏空间Rn中，有如下关系：中，有如下关系： A是紧集是紧集  A是自列紧集是自列紧集  A是列紧闭集是列紧闭集A A是列紧集是列紧集A闭闭A A是全有界集是全有界集  A A有界有界X完备完备A闭闭A A是列紧集是列紧集A A是全有界集是全有界集A A有界有界。