专题04圆锥曲线与方程(知识梳理)(理)(原卷版).pdf

专题 04 圆锥曲线与方程（知识梳理）一、曲线和方程的定义1、一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0)(yxf，的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2、“ 曲线和方程 ” 的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可1) “曲线上的点的坐标都是方程0)(yxf，的解 ” ，即纯粹性2) “以方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，即完备性这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则二、两曲线的交点1、由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x的一元二次方程的判别式分别满足0 、0、02、两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。

可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题特别提醒：从近几年高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相交汇，着重考查分析问题解决问题的能力，对逻辑思维能力，运算能力也有很高的要求三、求轨迹方程的常用方法1、直接法：直接利用条件建立x、y之间的关系0)(yxf，一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对)(yx，表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合)(|MpMP；(3)用坐标表示条件)(Mp，列出方程0)(yxf，；(4)化方程0)(yxf，为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上2、待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数3、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程4、代入转移法： 动点)(yxP，依赖于另一动点)(00yxQ，的变化而变化， 并且)(00yxQ，又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示0 x、0y，再将0 x、0y代入已知曲线得要求的轨迹方程。

5、参数法：当动点)(yxP，坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量 (参数 )表示，得参数方程，再消去参数得普通方程四、椭圆的基本定义和方程1、椭圆的定义：设1F、2F是定点，P为动点，则满足aPFPF2|21(a为定值且|221FFa)的动点P的轨迹称为椭圆，符号表示：aPFPF2|21(|221FFa)注意：当|221FFa时为线段21FF，当|221FFa时无轨迹2、椭圆的方程及图像性质定义方程aycxycx2)()(2222acyxcyx2)()(2222标准方程12222byax(0ba) 12222bxay(0ba) 一般方程122nymx(0m，0n，nm) 推导方程22222bxaby(0ba) 22222axbax(0ba) 范围aax，bby，bbx，aay，图形焦点坐标焦点在x轴上)0(1，cF，)0(2，cF焦点在y轴上)0(1cF，)0(2cF，对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心) 顶点)0(1，aA、)0(2，aA、)0(1bB，、)0(2bB，)0(1aA，、)0(2aA，、)0(1，bB、)0(2，bB轴长轴21AA的长为：a2(a为长半轴 ) 短轴21BB的长为：b2( b 为短半轴 ) 离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率ace，) 10( ，e，e越大越扁，e越小越圆焦距：cFF221222cba(1)椭圆的标准方程的判定方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上。

通过a、 b 、c三个量之间的关系(0ba，0ca，且222cba)求出未知量2)点)(00yxP，在椭圆的的内外部的判断方法：1220220byax点P在椭圆内；1220220byax点P在椭圆上；1220220byax点P在椭圆外3)焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径焦半径公式：)(00yxP，为椭圆上任一点，01|xearPF左，02|xearPF右；01|yearPF下，02|yearPF上；对于椭圆12222byax(0ba)，设)(00yxP，为椭圆上一点，则：左焦半径accaxr20左，002xeaxecaacr左，caPFmax|，右焦半径acxcar02右，002xeaxecaacr右，caPFmin|，综上：caPFmax|，caPFmin|，即caPFca|4)椭圆的一般方程：方程CByAx22(A、B、 C 均不为零 )可化为：122CByCAx，即122BCyACx，则只有A、B、 C 同号，且BA时，方程表示椭圆，当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上，当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上3、椭圆12222byax(0ba)的图像中线段的几何特征(如图 )：(1)aPFPF2|21，ePMPFPMPF2211，caPMPM2212|；(2)aBFBF|21，cOFOF|21，2221|baBABA；(3)caFAFA|2211，caFAFA|1221。

五、椭圆中的焦点三角形若1F、2F是椭圆12222byax(0ba) 的两个焦点，P为椭圆上一动点，则21FPF称为椭圆的焦点三角形，其周长为)(2ca1、相关性质：(1)当点P从A点逆时针运动时，21PFF由锐角逐渐增大， 到达B点时达到最大， 过了y轴之后又逐渐减小2)设21PFF，则221cose当且仅当动点为短轴端点时取等号) (3)设21PFF，则焦点三角形的面积2tan221bSPFF4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab225)22122bPFPFcb，最大值与最小值之差一定是2c2、解与焦点三角形21FPF(P为椭圆上的点 )有关的计算问题(1)与焦点三角形21FPF有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理 )、三角形面积公式2121sin|2121PFFPFPFSPFF相结合的方法进行计算解题2)将有关线段|1PF、|2PF、|21FF，有关角21PFF(2121BFFPFF)结合起来，建立|21PFPF和|21PFPF之间的关系六、直线与椭圆1、由方程组102222byaxCByAx，消去y导成02pnxmx(0m)，判断mpn42。

0方程组有两解两个交点相交0方程组有一解一个交点相切0方程组无解无交点相离2、过椭圆上点切线问题：若)(000yxP，在椭圆12222byax(0ba)上，则过0P的椭圆的切线方程是12020byyaxx3、弦长公式：若直线mkxy与椭圆12222byax(0ba)的交点为)(11yxA，、)(22yxB，则| AB叫做弦长21221222122212214)(1)(1)()(|xxxxkxxkyyxxAB|12ak(韦达定理 )|11)(112122212yykyyk说明：与| A分别是直线与曲线方程联立方程组消去y后的根的判别式及2x项的系数4、焦点弦公式：椭圆方程为12222byax(0ba)，半焦距为0c，焦点)0(1，cF、)0(2，cF，设过1F的直线 l 的倾斜角为， l 交椭圆于两点)(11yxA，、)(22yxB，求弦长| AB5、椭圆的斜率公式：(1)过椭圆上12222byax(0ba)上一点)(00yx，的切线斜率为0202yaxb2)直线 l (不平行于y轴)过椭圆12222byax(0ba)上两点A、B，其中AB中点为)(00yxP，则有22abkkOPAB特殊的：直线l (存在斜率 )过椭圆12222bxay(0ba)上两点A、B，线段AB中点为)(00yxP，则有22bakkOPAB。

3)若A、B是椭圆12222byax(0ba)上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，当PA、PB的斜率PAk和PBk都存在时，有22abkkPBPA4)若1A、2A、1B、2B是椭圆12222byax(0ba)上的左、右、上、下顶点，P是椭圆上除了1A、2A、1B、2B的任意一点，则2221abkkPAPA，2221abkkPBPB5)椭圆12222bxay(0ba)与斜率为 k 的直线 l 相交于A、B两点，设弦AB的中点为)(00yxM，则有02020kbyax七、双曲线的基本定义和方程1、双曲线的定义：把平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数a2(|2021FFa)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距1)取一条拉链， 拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点1F、2F上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？(2)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？(3)双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数a2，|221FFa？2、曲线的标准方程：定义方程aycxycx2|)()(|2222acyxcyx2|)()(|2222标准方程12222byax(0a，0b) 12222bxay(0a，0b) 一般方程122nymx(0nm) 范围ax|，Ryay |，Rx图形焦点坐标焦点在x轴上)0(1，cF，)0(2，cF焦点在y轴上)0(1cF，)0(2cF，对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点(这个对称中心称为双曲线的中心) 顶点)0(1，aA、)0(2，aA、)0(1bB，、)0(2bB，)0(1aA，、)0(2aA，、)0(1，bB、)0(2，bB实轴21AA长a2(a为实半轴 )，虚轴21BB长b2( b 为虚半轴 )，焦距cFF221，222bac渐近线0aybx(或xaby) 0byax(或xbay) 离心率双曲线的焦距与长轴长度的比：ace，)1( ，e，e越大开口越大(1)类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？(2)两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？(3)如图，类比椭圆中a、 b 、c的意义，你能在y轴上找一点B，使bOB |吗？3、曲线的几何性质：实质是围绕双曲线的“ 六点 ”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“ 四线 ”(两条对称轴、两条渐近线)，“ 两三角形 ”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形 )研究它们之间的相互关系。

1)共轭双曲线：是以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程12222byax(0a，0b)与12222axby(0a，0b)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于12)等轴双曲线：ba，其主要性质有：离心率为2，等轴双曲线两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项3)双曲线形状与e的关系：1122222eacaacabk，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意2)(1abe及判断焦点的位置已知渐近线方程mxy(0m)求离心率时，当焦点不确定时，abm或bam因此离心率有两种可能4)双曲线 C ：122。