2024年九年级中考数学复习：圆中线段乘积问题.pdf

2024年九年级中考数学专题复习圆中线段乘积问题热点专题加练1 .定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”.如 图 1,在 A B C 中，点是 3 C 边上的一点，连接A若 4)2=B Z).C D,则称点是，ASC 中 边 的“好点”.(1)如 图 1,在 ABC 中，B C =4,若点是边BC 的“好点”，且班=1,则线段AO的长是如图2,二是 A B C 的外接圆，点 E在A B 边上，连接C E 并延长，交；连接O E、B D、A D,若点E是 3 CD 中边8 的“好点”，O E/B D,求证：AD是的直径；(3)在(2)的条件下，点 尸 是上一点，连接C P 交 AD于点Q,连接P、C O,若 O E =6,CE=2,C O L D P,求 PQ 的长.2 .定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形(1)在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是(2)如 图 1,在“完美四边形NBC中，AB=AD C D 2,B C=h,A C=3,求线段8。

2的长.(3)如图2,内接四边形EFGH,GE为的直径.求证：四边形EFGH为“完美四边形”.若EF=6,F G=8,“是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.B G N 2 一、3.定义：如果三角形两边的乘积是第三条边上高线平方的4 倍，则称这个三角形是“小屋三角形”，这条高线叫做“小屋线 如 图 1,ABC中，AB=AC,ZBAC=1 2 0,求证：ABC是“小屋三角形 如 图 2,ABC是 圆的内接三角形，,A C B 是钝角，AO是“ASC的“小屋线”，求证:AD等于圆直径的四分之一.试卷第2 页，共 11页如图3,在(2)的条件下，P 是优弧3AC的中点，连结上4,P B,当尸3 与R 4的平方差为 20时，求圆的直径.4.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图 1,已知四边形A3CD内接于 Q,对角线AC=B O,且求证：AB=C D；(2)若匚的半径为8,弧 8 0 的度数为120求四边形ABC的面积；(3)如图2,作3 c 于 请 猜 测 ON与 AD的数量关系，并证明你的结论.5.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形ABCD内接于。

对角线AC=3且 A C 1 31)求证：AB=CD.(2)若 的 半 径 为 8,弧8的度数为120求四边形ABC的面积.6.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图 1,已知四边形A3CD内接于对角线AC=B O,且(1)求证：AB=C D；(2)若&O的半径为8,弧 的 度 数 为 120求四边形ABCO的面积；(3)如图2,作3 c 于 请 猜 测 与 的 数 量 关 系，并证明你的结论.试卷第4 页，共 11页7.如图，A 3 是 0的弦，直径DG L AB,垂足为点尸，C 为&G上的一点，连接C,交线段A 2于点E,作N D C H =N A E D,C H 交 DG 延长线于点H.求证：C H 是的切线；若的半径为5,t a n H=w，求 C D的长.8 .如 图 1,四边形A B C D 内接于（对角线AC 交 3于点G,我 B =，点厂段8 0上，且 A F=A D.CMC图1图2(1)若 NAD3=cr,请用a 的代数式表示/A D C ；求证：BF=C D -,如图2,延长AF交二于 点 连 结 FC.2若AM为的直径，A M=13,tan/D 4c=耳，求 的 长;若F G =2 G D,猜想Z 4/C 的度数，并证明你的结论.9.如 图 1,以RtAABC的直角边AB为 直 径 作O,交斜边AC于 点 点 E 是BC的中点,连接BO,DE.(2)【拓展】如图2,点厂在CB的延长线上,点 M 在 线 段 上，产于点N,D F 交A 3于点G.求证:C F -B M =B D -B C ,【运用】在(2)的条件下，若 =6,AC=10,B F =2,求_ 4 如5 的面积.试卷第6 页，共 11页10.请阅读下列材料，并完成相应的任务.克罗狄斯 托勒密（约 90年一168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家.在数学方面,他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.即：如 图 1,若四边形ABCD内 接 于。

则有.任务：（1）材 料 中 划 横 线 部 分 应 填 写 的 内 容 为.（2）已知，如图2,四边形ABCD内接于 O,8平分/A B C,Z C O D =120 ,求证：B D=A B+B C.图2图111.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.（1）下 面 四 边 形 是 垂 等 四 边 形 的 是 （填序号）平行四边形；矩形；菱形；正方形（2）图形判定：如 图 1,在四边形ABCD中，AD/BC,A C 1 B D,过点D 作 BD垂线交 B C 的延长线于点E,且 3 C =45证明：四边形ABCD是垂等四边形.(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：在图 2 中，面积为24 的垂等四边形ABCD内接于O 中，ZBCZ)=6 0 .求O 的半径.1 2.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知 ABC是比例三角形，AB=2,B C=3,请直接写出所有满足AC条件的长；(2)如图，点 A 在以BC为直径的圆上，BD平分/A B C,AD/7BC,ZADC=90.求证：ABC为比例三角形；求整的值.A C(3)若以点C 为顶点的抛物线y=mx2-4mx-l2m(mVO)与 x 轴交于A、B 两点，ABC是比例三角形，若点M(xo,yo)为该抛物线上任意一点，总有n-君摄竺f myoSO档 yo+298成立，求实数n 的最大值.试卷第8 页，共 11页13.定义:如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直,则称这个四边形为“等垂四边形”.如 图 1,四边形ABCD中，若 AC=BD,A C B D,则称四边形ABCD为等垂四边形.根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息解答下列问题：(1)矩 形 等 垂 四 边 形”(填“是”或“不是”)；(2)如图2,已知。

0 的内接四边形ABCD是等垂四边形，若0 的半径为6,ZADC=60,求四边形ABCD的面积；(3)如图3,已知0 O 的内接四边形ABCD是等垂四边形，作 OM LAD于 M.请猜想OM与 B C 的数量关系，并证明你的结论.14.问题探究：（1）已知：如图，ABC中请你用尺规在BC边上找一点D,使得点A 到点B C 的距离最短.（2）托 勒 密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，P 是正 ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C 重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：PA=PB+PC问题解决：（3）如图，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置对石凳及垃圾箱在点P 处，使 P 到 A、B、C 三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P?若存在，请作出点P 的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由.15.如图，已知是的直径，点C在 的 延 长 线 上，点ZX E 在:上，连接AD和AE,且 AC平 分 AE.试卷第10页，共 11页(1)如 图 1,求证：AC平分/O C E；(2汝口图2,连接O E交 于 点 尸，若 NDC4=2/Z M C,求证：A F =C D+C F；(3)如图3,在(2)的条件下，弧BE上有一点G,连接AG,D H L A G 于点H ,交 O 于点 K,/B H D =N D C A,若 B H =5,D H =8,求线段 BC 的长.参考答案:L 62.(1)正方形、矩形；(2)3；(3)存在，7 应.3.4 行4.(2)9 65.(2)四边形A 3 C D 的面积=9 6.6.9 6；(3)A D=2 0 M7.4 石8.(1)1 8 0 a5；9 0。

9.(3)SA AB M=1 0.(1)A C B D A B C D+B C A D；1 1.(1)；(2)41 2.(1),-,瓜;(2)=V 2 ；(3)1 0+./3 .j L A C1 3.(1)不是；(2)5 4；(3)O M=|BC.1 4.(1)过点A作 B C 边的垂线，垂足为即为所求(3)点 P到 A、B、C三点距离之和的最小值约是3 0,5 +m.1 5.(3)0 51 0答案第1 页，共 2页答案第2 页，共 2 页。